1981-全国理-01 解-有理数集与无理数集的并交

本题导读

本题考查有理数集与无理数集的并集与交集，直接用实数分类即可。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(理)）

1. 设 $A$ 表示有理数的集合，$B$ 表示无理数的集合，即设 $A=\{\text{有理数}\}$，$B=\{\text{无理数}\}$，试写出：

(1) $A\cup B$；

(2) $A\cap B$.

🔍【思路分析】

破题导航

有理数与无理数合起来是全体实数，且二者没有公共元素。

✅【答案】

Success

(1) $A\cup B=\mathbf{R}$ (2) $A\cap B=\varnothing$

✍【详细解析】

Abstract

任意一个实数要么是有理数，要么是无理数，二者必居其一且仅居其一。 (1) $A\cup B$ 为全体实数集，即 $A\cup B=\mathbf{R}$。 (2) 有理数集与无理数集互不相交，故 $A\cap B=\varnothing$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：有理数集与无理数集的并交

核心方法：集合的分类与并交定义

避坑指南：实数只分为有理数与无理数两类，二者不交且并为 $\mathbf{R}$；不要把并集误写成复数集

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：实数系的基本分类

结论推广：有理数与无理数的并集为实数集，交集为空

方法推广：集合的并、交运算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-03 单-集合的交并运算
• 1986-全国文-03 单-集合的补集运算