1979-全国文-02 解-三角式的化简

本题导读

本题考查三角式的化简。核心在于用平方差公式与同角基本关系。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(文)） 化简：$\left[(1+{\sin }^2\theta {)}^2-{\cos }^4\theta \right]\left[(1+{\cos }^2\theta {)}^2-{\sin }^4\theta \right]$

🔍【思路分析】

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两个中括号分别用平方差分解，再套 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$。

✅【答案】

Success

$4{\sin }^{2}2\theta$

✍【详细解析】

Abstract

第一个中括号：$(1+{\sin }^2\theta {)}^2-{\cos }^4\theta =(1+{\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta )(1+{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=({\sin }^2\theta +{\sin }^2\theta )\cdot 2=4{\sin }^2\theta$。同理，第二个中括号：$(1+{\cos }^2\theta {)}^2-{\sin }^4\theta =(1+{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )(1+{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=({\cos }^2\theta +{\cos }^2\theta )\cdot 2=4{\cos }^2\theta$。所以原式 $=4{\sin }^2\theta \cdot 4{\cos }^2\theta =16{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =4(2\sin \theta \cos \theta {)}^2=4{\sin }^{2}2\theta$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角式的化简

核心方法：平方差与同角关系

避坑指南：先平方差分解再套 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变形

结论推广：${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 与平方差反复套用

方法推广：同角关系的平方差分解是常用技巧

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1980-全国文-05 解-含根号的三角式化简
• 1988-广东文-06 单-同角三角函数的化简