1979-全国文-01 解-二次函数的极值

本题导读

本题考查二次函数极值的求法。核心在于配成完全平方求最小值。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(文)） 求函数 $y=2x^2-x+1$ 的极小值

🔍【思路分析】

破题导航

配方得 $y=2{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{7}{8}$，由完全平方非负取最小值。

✅【答案】

Success

$\frac{7}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

配方：$y=2x^2-x+1=2\left(x^2-\frac{1}{2}x\right)+1=2{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{8}+1=2{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{7}{8}$。因为 $2{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2\ge 0$，所以当 $x=\frac{1}{4}$ 时，$y$ 取得极小值 $\frac{7}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数的极值

核心方法：配方求极值

避坑指南：配成完全平方后常数项即极值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数最值

结论推广：二次函数最值配方、求导、判别式三法皆可

方法推广：配方是求二次最值的基本方法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-08 填-二次函数闭区间最值
• 1988-广东文-17 单-二次函数的值域