1978-全国卷-07 解-二次函数与抛物线

本题导读

本题是 1978 年压轴题，研究抛物线族 $y=x^2+(2m+1)x+m^2-1$ 的顶点轨迹及与一族平行线相交时截得弦长的不变性。

📌【题干】

Question

（1978年全国卷） 7. 已知函数 $y=x^2+(2m+1)x+m^2-1$（$m$ 为实数）.

(1) $m$ 是什么数值时，$y$ 的极值是 $0$?

(2) 求证：不论 $m$ 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线 $L_1$ 上，画出 $m=-1$、$m=0$、$m=1$ 时抛物线的草图，来检验这个结论；

(3) 平行于 $L_1$ 的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于 $L_1$ 而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

🔍【思路分析】

破题导航

配方得顶点式 $y={\left(x+\frac{2m+1}{2}\right)}^2-\frac{4m+5}{4}$，顶点 $\left(-\frac{2m+1}{2},-\frac{4m+5}{4}\right)$。(1) 极值为 $0$ 即 $-\frac{4m+5}{4}=0$，$m=-\frac{5}{4}$。(2) 消去 $m$ 得 $x-y=\frac{3}{4}$。(3) 设平行线 $x-y=a$ 即 $y=x-a$，联立判别式得 $a\le 1$ 相交；用弦长公式得弦长 $2\sqrt{2}(1-a)$，与 $m$ 无关。

✅【答案】

Success

(1) $m=-\frac{5}{4}$；(2) 顶点均在直线 $L_1:x-y=\frac{3}{4}$ 上；(3) 直线 $x-y=a$ 当 $a\le 1$ 时相交，$a>1$ 时不相交；相交时截得弦长为 $2\sqrt{2}(1-a)$，与各抛物线无关

✍【详细解析】

Abstract

$y=x^2+(2m+1)x+m^2-1={\left(x+\frac{2m+1}{2}\right)}^2-\frac{4m+5}{4}$。 (1) 抛物线开口向上，极小值为 $-\frac{4m+5}{4}$。令 $-\frac{4m+5}{4}=0$，得 $m=-\frac{5}{4}$。 (2) 顶点坐标为 $\left(-\frac{2m+1}{2},-\frac{4m+5}{4}\right)$。设顶点坐标为 $(x_0,y_0)$，则 $x_0=-\frac{2m+1}{2}$，$y_0=-\frac{4m+5}{4}$。消去 $m$：由 $x_0=-\frac{2m+1}{2}$ 得 $m=-x_0-\frac{1}{2}$，代入 $y_0$ 得 $y_0=-\frac{4(-x_0-1/2)+5}{4}=x_0-\frac{3}{4}$。所以顶点在直线 $L_1:x-y=\frac{3}{4}$ 上。 (3) 平行于 $L_1$ 的直线可设为 $x-y=a$，即 $y=x-a$。联立 $\{\begin{array}{l}y=x^2+(2m+1)x+m^2-1,\\ y=x-a,\end{array}$ 得 $x^2+(2m+1)x+m^2-1=x-a$，即 $x^2+2mx+m^2+a-1=0$，亦即 $(x+m{)}^2=1-a$。 当 $1-a\ge 0$ 即 $a\le 1$ 时方程有实根，直线与抛物线相交；当 $a>1$ 时不相交。 设交点为 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2=-2m$，$x_1{x}_2=m^2+a-1$，$|x_1-x_2|=2\sqrt{1-a}$。 因为直线斜率为 $1$，弦长 $=\sqrt{1+1^2}|x_1-x_2|=2\sqrt{2}\sqrt{1-a}=2\sqrt{2}(1-a)$（当 $a\le 1$）。 结果不含 $m$，故被各抛物线截出的线段都相等。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数与抛物线

核心方法：配方求顶点，消去参数 $m$ 得顶点所在直线，再联立平行线求弦长

避坑指南：弦长计算要利用顶点轨迹直线与抛物线的对称性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线族性质

结论推广：含参抛物线顶点共线的证明

方法推广：配方、消参、弦长公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1952-全国-20 填-抛物线配方求顶点
• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1980-全国理-09 解-抛物线与圆的切线垂直