1978-全国卷-04 解-对数换底与指数互化

本题导读

本题考查不同底对数的求值，关键是把 ${\log }_{36}45$ 化为以 $18$ 为底的对数，再代入已知。

📌【题干】

Question

（1978年全国卷） 4. 已知 ${\log }_{18}9=a$，$18^b=5$，求 ${\log }_{36}45$.

🔍【思路分析】

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由换底公式 ${\log }_{36}45=\frac{{\log }_{18}45}{{\log }_{18}36}=\frac{{\log }_{18}(9\times 5)}{{\log }_{18}(18\times 2)}=\frac{a+b}{1+{\log }_{18}2}$，而 ${\log }_{18}2=1-{\log }_{18}9=1-a$，代入即得。

✅【答案】

Success

$\frac{a+b}{2-a}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $18^b=5$，所以 ${\log }_{18}5=b$。 ${\log }_{36}45=\frac{{\log }_{18}45}{{\log }_{18}36}=\frac{{\log }_{18}(9\times 5)}{{\log }_{18}(18\times 2)}=\frac{{\log }_{18}9+{\log }_{18}5}{{\log }_{18}18+{\log }_{18}2}=\frac{a+b}{1+{\log }_{18}2}$。 又 ${\log }_{18}2={\log }_{18}\frac{18}{9}=1-{\log }_{18}9=1-a$，所以 ${\log }_{36}45=\frac{a+b}{1+(1-a)}=\frac{a+b}{2-a}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数换底与指数互化

核心方法：用换底公式把 ${\log }_{36}45$ 化为以 $18$ 为底，再代入已知

避坑指南：注意 $36=2\times 18$，所以 ${\log }_{36}45=\frac{{\log }_{18}45}{{\log }_{18}36}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数换底公式

结论推广：不同底对数求值时统一底数

方法推广：换底公式 ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

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• 1953-全国-04 解-对数和的求值
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