1980-全国理-04 解-对数换底公式

本题导读

本题考查对数换底公式的证明，利用对数定义将对数式转化为指数式再取对数即可。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)） 4. 证明对数换底公式：${\log }_{b}N=\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}$（$a,b,N$ 都是正数，$a\ne 1$，$b\ne 1$）.

🔍【思路分析】

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令 $x={\log }_{b}N$，则 $b^x=N$；两边取以 $a$ 为底的对数得 $x{\log }_{a}b={\log }_{a}N$，因 ${\log }_{a}b\ne 0$ 得证。

✅【答案】

Success

${\log }_{b}N=\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $x={\log }_{b}N$。由对数定义，$b^x=N$。两边取以 $a$ 为底的对数，得 ${\log }_a(b^x)={\log }_{a}N$，即 $x{\log }_{a}b={\log }_{a}N$。因为 $b\ne 1$，所以 ${\log }_{a}b\ne 0$，从而 $x=\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}$。代回 $x={\log }_{b}N$，即得 ${\log }_{b}N=\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数换底公式

核心方法：对数指数互化

避坑指南：设 $x={\log }_{b}N$ 化为指数式 $b^x=N$，再取以 $a$ 为底对数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数换底公式

结论推广：对数与指数的互化

方法推广：设元代换法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1958-云南-01 解-对数方程换元求解
• 1958-北京-02 解-对数判定数的位数