1978-全国卷-01 解-代数运算综合

本题导读

本题是 1978 年恢复高考后的第一组基础题，涵盖因式分解、立体几何体积、函数定义域、三角求值与指数根式化简，重在基本运算准确。

📌【题干】

Question

（1978年全国卷）

1. (1) 分解因式：$x^2-4xy+4y^2-4z^2$.

(2) 已知正方形的边长为 $a$，求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.

(3) 求函数 $y=\sqrt{\lg (2+x)}$ 的定义域.

(4) 不查表求 $\cos 80^{\circ }\cos 35^{\circ }+\cos 10^{\circ }\cos 55^{\circ }$ 的值.

(5) 化简：$\frac{{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot {\left(\sqrt{4a{b}^{-1}}\right)}^3}{(0.1{)}^{-2}\cdot (a^3{b}^{-4}{)}^{\frac{1}{2}}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 前三项配成 $(x-2y{)}^2$ 后用平方差公式；(2) 侧面积 $=$ 底面周长 $\times$ 高，反求底面半径再算体积；(3) 由 $\lg (2+x)\ge 0$ 且 $2+x>0$ 得 $x\ge -1$；(4) 将 $\cos 10^{\circ }$ 写成 $\sin 80^{\circ }$，$\cos 55^{\circ }$ 写成 $\sin 35^{\circ }$，再用正弦倍角公式；(5) 逐项化简指数与根式，合并后得 $\frac{4}{25}\sqrt{b}$。

✅【答案】

Success

(1) $(x-2y-2z)(x-2y+2z)$；(2) $\frac{a^3}{4\pi }$；(3) $x\ge -1$；(4) $\frac{\sqrt{2}}{2}$；(5) $\frac{4}{25}\sqrt{b}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $x^2-4xy+4y^2-4z^2=(x-2y{)}^2-(2z{)}^2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)$。 (2) 侧面积等于正方形面积 $a^2$，高为 $a$。设圆柱底面半径为 $r$，则底面周长 $2\pi r$，侧面积 $2\pi r\cdot a=a^2$，故 $r=\frac{a}{2\pi }$。体积 $V=\pi r^2\cdot a=\pi \cdot \frac{a^2}{4{\pi }^2}\cdot a=\frac{a^3}{4\pi }$。 (3) 要使 $y=\sqrt{\lg (2+x)}$ 有意义，需 $2+x>0$ 且 $\lg (2+x)\ge 0$，即 $2+x\ge 1$，所以 $x\ge -1$。 (4) 原式 $=\cos 80^{\circ }\cos 35^{\circ }+\sin 80^{\circ }\sin 35^{\circ }=\cos (80^{\circ }-35^{\circ })=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 (5) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}=2$，${\left(\sqrt{4a{b}^{-1}}\right)}^3=(4a{b}^{-1}{)}^{\frac{3}{2}}=8a^{\frac{3}{2}}{b}^{-\frac{3}{2}}$，$(0.1{)}^{-2}=100$，$(a^3{b}^{-4}{)}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{2}}{b}^{-2}$。 所以原式 $=\frac{2\cdot 8a^{\frac{3}{2}}{b}^{-\frac{3}{2}}}{100\cdot a^{\frac{3}{2}}{b}^{-2}}=\frac{16}{100}{b}^{\frac{1}{2}}=\frac{4}{25}\sqrt{b}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：代数运算综合

核心方法：五小问分别用公式化简：完全平方差、圆柱体积、对数定义域、积化和差、指数根式运算

避坑指南：第(5)问注意负指数与分母的统一，结果保留根式形式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：代数基础运算

结论推广：1978 年恢复高考后的基础综合题

方法推广：公式法与分类讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1952-全国-01 填-因式分解x4减y4
• 1977-云南-01 解-根式指数与对数四连
• 1980-全国理-01 解-因式分解的数域分解