1977-青海-12 解-旋转体体积

本题导读

本题考查旋转体体积（参考题，大学内容）。核心在于 $V=\pi \int y^2\mathrm{d}x$，用 cos² 降幂积分。

📌【题干】

Question

（1977年青海卷） 试求由曲线 $y=2\cos x$ 之一半被与 $y=0$ 围成的面积绕 $ox$ 轴旋转所产生的立体的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

$V={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\pi (2\cos x{)}^2\mathrm{d}x=4\pi \int {\cos }^{2}x\mathrm{d}x$，用 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$。

✅【答案】

Success

$2{\pi }^2$

✍【详细解析】

Abstract

所求体积 $V={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\pi y^2\mathrm{d}x={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}4\pi {\cos }^{2}x\mathrm{d}x={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}2\pi (1+\cos 2x)\mathrm{d}x=(2\pi x+\pi \sin 2x){|}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=2{\pi }^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体体积

核心方法：旋转体体积公式 V=π∫y²dx，用 cos² 降幂积分

避坑指南：V=∫₋π/2^{π/2}4πcos²x dx=2π²。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于旋转体体积，考查定积分应用（参考题，大学内容）。

结论推广：曲线绕 x 轴旋转体积 V=π∫y²dx。

方法推广：cos²x=(1+cos2x)/2 降幂后积分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-浙江-12 解-旋转体体积
• 1977-云南-09 解-定积分换元