1977-陕西-12 解-一阶微分方程

本题导读

本题考查一阶微分方程（参考题，大学内容照录）。核心在于换元 x²=t 化常系数线性方程，求通解后代初值。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 试解 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-2xy=2x^3$，$y{|}_{x=0}=1$.

🔍【思路分析】

破题导航

方程化为 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}(x^2)}-y=x^2$，令 $x^2=t$ 得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-y=t$；齐次通解 $c{e}^t$，特解 $-t-1$。

✅【答案】

Success

$y=2e^{x^2}-x^2-1$

✍【详细解析】

Abstract

方程两边除以 $2x$（作变量代换 $x^2=t$）化为 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-y=t$。对应齐次方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-y=0$ 的特征根为 1，通解 $y=c{e}^t$。易验证 $y=-t-1$ 是一特解，故通解 $y=c{e}^t-t-1$。代回 $t=x^2$ 得 $y=c{e}^{x^2}-x^2-1$。代入初值 $y{|}_{x=0}=1$，得 $c-1=1$，$c=2$。所以解为 $y=2e^{x^2}-x^2-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：一阶微分方程

核心方法：齐次方程求通解 + 特解，代初值定常数

避坑指南：令 $x^2=t$ 化一阶线性方程，通解 $y=c{e}^{x^2}-x^2-1$，由 $y{|}_{x=0}=1$ 得 $c=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于一阶线性微分方程，考查换元+特征根+特解（参考题，大学内容）。

结论推广：一阶常系数线性方程 dy/dt-y=t 可用特征根+待定特解求解。

方法推广：换元 x²=t 把变系数方程化为常系数是第一步。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.09 微分中值定理与高阶导数应用

类题演练 (Links)

• 1977-湖北-08 解-二阶微分方程初值
• 1977-重庆-13 解-微分方程通解