1977-陕西-07 解-中位线三角形面积

本题导读

本题考查中位线三角形与相似面积比。核心在于中位线三角形与原三角形相似，面积比为相似比平方。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 以任意一点到已知三角形三个顶点连线的中点为顶点作三角形.所作三角形的面积是已知三角形的几倍？

🔍【思路分析】

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$A\prime$、$B\prime$、$C\prime$ 是 $PA$、$PB$、$PC$ 中点，由中位线得 $\frac{A\prime B\prime }{AB}=\frac{B\prime C\prime }{BC}=\frac{A\prime C\prime }{AC}=\frac{1}{2}$，两三角形相似。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{4}$ 倍

✍【详细解析】

Abstract

如图，$P$ 为 $△ABC$ 外任一点，$A\prime$、$B\prime$、$C\prime$ 分别是 $PA$、$PB$、$PC$ 的中点。由三角形中位线性质，$\frac{A\prime B\prime }{AB}=\frac{B\prime C\prime }{BC}=\frac{A\prime C\prime }{AC}=\frac{1}{2}$，所以 $△A\prime B\prime C\prime \sim △ABC$。面积比等于对应边比的平方，即 $\frac{S_{△A\prime B\prime C\prime }}{S_{△ABC}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$。故所作三角形面积是原三角形的 $\frac{1}{4}$（$P$ 在三角形内或边上结论相同）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中位线三角形面积

核心方法：中位线定理得相似三角形，面积比为相似比平方

避坑指南：三边比均为 $\frac{1}{2}$，故面积比为 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角形中位线，考查相似与面积比。

结论推广：中点连线构成的中位线三角形与原三角形相似，相似比 1/2。

方法推广：面积比是相似比的平方，不是相似比本身。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.06 中线模型与衍生恒等式

类题演练 (Links)

• 1977-山西-03 解-梯形中位线
• 1977-江西-19 解-相似证二倍角