1977-重庆-10 解-三次函数极值

本题导读

本题考查导数求极值。核心在于 $f^{\prime }(x)=0$ 找驻点，$f^{\prime \prime }$ 的符号定极大极小。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 求函数 $f(x)=\frac{1}{4}{x}^4-x^3-2x^2+3$ 的极值.

🔍【思路分析】

破题导航

$f^{\prime }(x)=x^3-3x^2-4x=x(x-4)(x+1)$，驻点 $0,4,-1$；$f^{\prime \prime }(x)=3x^2-6x-4$ 代入判别。

✅【答案】

Success

当 $x=0$ 时极大值 $f(0)=3$；$x=4$ 时极小值 $f(4)=-29$；$x=-1$ 时极小值 $f(-1)=2\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

先找出可能是极值点的那些 $x$ 的值，即求 $f^{\prime }(x)=0$ 的根。令 $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2-4x=0$，即 $x(x-4)(x+1)=0$，其根分别是 $0$，$4$，$-1$。又因为 $f^{\prime \prime }(0)=(3x^2-6x-4){|}_{x=0}=-4<0$，$f^{\prime \prime }(4)=(3x^2-6x-4){|}_{x=4}=20>0$，$f^{\prime \prime }(-1)=(3x^2-6x-4){|}_{x=-1}=5>0$。所以 $x=0$ 时，有极大值 $f(0)=3$；$x=4$ 时，有极小值 $f(4)=64-64-32+3=-29$；$x=-1$ 时，有极小值 $f(-1)=\frac{1}{4}+1-2+3=2\frac{1}{4}$。答：当 $x=0$ 时 $f(x)$ 有极大值3；$x=4$ 时有极小值 $-29$；$x=-1$ 时有极小值 $2\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值

核心方法：驻点+二阶判别

避坑指南：$f^{\prime }(x)=x(x-4)(x+1)$；$f^{\prime \prime }$ 定极大极小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数应用

结论推广：极大 $f(0)=3$；极小 $f(4)=-29$、$f(-1)=2\frac{1}{4}$

方法推广：二阶导判别最快

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1977-湖北-07 解-三次函数极值
• 1977-江西-16 解-判别式与平行四边形最值