1977-重庆-03 解-三角化积

本题导读

本题考查三角化积。核心在于余弦化正弦、异名化同名，末尾用降幂公式收尾。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 把 $\sin (30^{\circ }+x)+\cos (x+60^{\circ })-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$ 化成积的形式.

🔍【思路分析】

破题导航

$\cos (x+60^{\circ })=\sin (30^{\circ }-x)$；前两项和差化积 $=2\sin 30^{\circ }\cos x=\cos x$；$1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$。

✅【答案】

Success

$-2{\sin }^2\frac{x}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\sin (30^{\circ }+x)+\cos (x+60^{\circ })-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=\sin (30^{\circ }+x)+\sin \left(90^{\circ }-(x+60^{\circ })\right)-\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=\sin (30^{\circ }+x)+\sin (30^{\circ }-x)-1=2\sin \frac{(30^{\circ }+x)+(30^{\circ }-x)}{2}\cos \frac{(30^{\circ }+x)-(30^{\circ }-x)}{2}-1=2\sin 30^{\circ }\cos x-1=\cos x-1=-(1-\cos x)=-2{\sin }^2\frac{x}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角化积

核心方法：同化正弦+降幂

避坑指南：$\cos (x+60^{\circ })=\sin (30^{\circ }-x)$；$1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换

结论推广：$-2{\sin }^2\frac{x}{2}$

方法推广：异名化同名、异角化同角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-安徽文-05 解-和差化积证明
• 1977-广东-04 解-切余互化证恒等