1977-辽宁-08 解-两角和余弦

本题导读

本题考查三角形内角和与两角和的余弦。核心在于 $\cos C=-\cos (A+B)$。

📌【题干】

Question

（1977年辽宁卷） 在 $△ABC$ 中，已知 $\cos A=\frac{5}{13}$，$\cos B=\frac{3}{5}$，求 $\cos C$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

$\cos C=-\cos (A+B)$，由 $\cos A,\cos B$ 求 $\sin A,\sin B$ 代入。

✅【答案】

Success

$\frac{33}{65}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $A+B+C=180^{\circ }$，$\cos C=\cos [180^{\circ }-(A+B)]=-\cos (A+B)=\sin A\sin B-\cos A\cos B$。$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{12}{13}$，$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\frac{4}{5}$。故 $\cos C=\frac{12}{13}\cdot \frac{4}{5}-\frac{5}{13}\cdot \frac{3}{5}=\frac{33}{65}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和余弦

核心方法：诱导与和角

避坑指南：$\cos C=-\cos (A+B)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦

结论推广：$\cos C=\frac{33}{65}$

方法推广：两角和余弦

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-16 解-两角和与差的三角函数
• 1989-广东文-26 填-诱导公式与特殊角