1977-贵州-05 解-切线等分线段

本题导读

本题考查切线证明。核心在于 $EB$、$ED$ 同为切线长相等，互余传递得 $\angle 1=\angle 2$。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 以直角三角形 $ABC$ 的一直角边 $AB$ 为直径作圆，此圆与斜边 $AC$ 交于 $D$，过 $D$ 引圆的切线交 $BC$ 于 $E$.试证 $EB=CE$.

🔍【思路分析】

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连 $BD$ 得 $\angle ADB=90^{\circ }$；$EB$ 也是切线故 $ED=EB$、$\angle 3=\angle 4$；互余得 $\angle 1=\angle 2$ 故 $CE=ED$。

✅【答案】

Success

$EB=CE$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

证明：连接 $BD$，则 $\angle ADB=90^{\circ }$（直径所对圆周角）。因为 $\angle ABC=90^{\circ }$，$AB$ 又是直径，所以 $EB$ 是圆的切线，因此 $ED=EB$（切线长定理）。所以 $\angle 3=\angle 4$。又因为 $\angle 1+\angle 3=90^{\circ }$，$\angle 2+\angle 4=90^{\circ }$，而 $\angle 3=\angle 4$，所以 $\angle 1=\angle 2$。从而 $CE=ED$（等角对等边），故 $EB=CE$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线等分线段

核心方法：切线长等角传递

避坑指南：$ED=EB$ 与 $\angle 1=\angle 2$ 得 $CE=ED$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的切线

结论推广：$EB=CE$

方法推广：切线长定理+直角三角互余

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 1977-重庆-06 解-角平分线等弦
• 1977-广西百色理-06 解-相交弦定理证明