1977-甘肃-08 解-不定积分与切线

本题导读

本题考查不定积分与圆的切线。核心在于逐项积分求原函数，以及过圆外点用切点公式作切线。

📌【题干】

Question

（1977年甘肃卷） (1)已知 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x{e}^x+2\cos x+3x^2$，求 $y$；(2)过点 $P(4,0)$ 向曲线 $x^2+y^2=1$ 作切线，求切线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)逐项积分；(2)设切点 $(x_0,y_0)$，切线 $x_{0}x+y_{0}y=1$ 过 $(4,0)$ 得 $4x_0=1$。

✅【答案】

Success

(1)$y=e^x(x-1)+2\sin x+x^3+C$；(2)$x+\sqrt{15}y=4$ 和 $x-\sqrt{15}y=4$

✍【详细解析】

Abstract

(1)两边积分得 $y=\int (x{e}^x+2\cos x+3x^2)\mathrm{d}x=e^x(x-1)+2\sin x+x^3+C$（$C$ 为任意常数）。(2)设切点为 $(x_0,y_0)$，则切线方程 $x_{0}x+y_{0}y=1$。因 $(x_0,y_0)$ 在曲线上，$x_0^2+y_0^2=1$；又 $P(4,0)$ 在切线上，$4x_0=1$，得 $x_0=\frac{1}{4}$，$y_0=\pm \frac{\sqrt{15}}{4}$。代入切线方程得 $x+\sqrt{15}y=4$ 与 $x-\sqrt{15}y=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不定积分与切线

核心方法：不定积分求原函数 + 过圆外点作切线

避坑指南：(1)y=eˣ(x-1)+2sinx+x³+C；(2)切线 x±√15y=4。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于不定积分与圆的切线，考查积分求原函数与切点法。

结论推广：∫f(x)dx 与过圆外点作切线（切点公式）都是基础。

方法推广：第(2)题设切点 (x₀,y₀) 用 x₀x+y₀y=1，由 P(4,0) 得 4x₀=1。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 1977-陕西-12 解-一阶微分方程
• 1977-云南-04 解-圆切线方程