1977-甘肃-02 解-分式化简与恒等式

本题导读

本题考查四类基础运算。核心在于分式通分约分、分数指数合并、切化弦证恒等式、配方法求极值。

📌【题干】

Question

（1977年甘肃卷） (1)计算 $\frac{2a}{a-3b}-\frac{6ab-24b^2}{a^2-7ab+12b^2}$；(2)化简 ${\left(\frac{a^{\frac{8}{5}}{b}^{-\frac{6}{5}}}{5}\right)}^{-\frac{1}{2}}\sqrt[5]{a^4}\sqrt[5]{b^3}$；(3)证明 $\frac{2\cot x}{1+{\cot }^{2}x}=\sin 2x$；(4)求函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+3x+9$ 的极值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)分母因式分解后通分约分；(2)分数指数合并；(3)$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$ 切化弦；(4)配方法。

✅【答案】

Success

(1)$2$；(2)$1$；(3)恒等式成立；(4)$x=-3$ 时 $y_{\min }=\frac{9}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)原式 $=\frac{2a}{a-3b}-\frac{6b(a-4b)}{(a-3b)(a-4b)}=\frac{2a}{a-3b}-\frac{6b}{a-3b}=\frac{2a-6b}{a-3b}=2$。(2)原式 $={\left(\frac{a^{\frac{8}{5}}{b}^{-\frac{6}{5}}}{5}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{4}{5}}\cdot b^{\frac{3}{5}}=5^{\frac{1}{2}}{a}^{-\frac{4}{5}}{b}^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{4}{5}}{b}^{\frac{3}{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=1$。(3)左边 $=\frac{2\cot x}{1+{\cot }^{2}x}=\frac{2\cot x}{{\csc }^{2}x}=2\cot x{\sin }^{2}x=2\sin x\cos x=\sin 2x$ = 右边。(4)$y=\frac{1}{2}(x^2+6x)+9=\frac{1}{2}(x+3{)}^2+\frac{9}{2}$，故当 $x=-3$ 时 $y_{\min }=\frac{9}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式化简与恒等式

核心方法：分式通分约分、分数指数化简、切化弦证恒等式、配方法求极值

避坑指南：(1)2(2)1(3)左边=sin2x(4)y最小=9/2（x=-3 时）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于分式、指数、恒等式与二次函数极值的综合小题。

结论推广：通分约分、切化弦、配方法求顶点是四类基础技能的集成。

方法推广：第(2)题分数指数合并后恰为 1；第(4)题配方得 (x+3)²/2+9/2。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角
• 1977-广东-04 解-切余互化证恒等