1977-湖南-04 解-三球熔铸求半径

本题导读

本题考查球的表面积与体积。核心在于熔铸前后体积守恒，由表面积反求各半径。

📌【题干】

Question

（1977年湖南卷） 把表面积分别是 $36\pi$ 平方厘米，$64\pi$ 平方厘米和 $100\pi$ 平方厘米的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的半径.

🔍【思路分析】

破题导航

表面积除 $4\pi$ 开方得各半径；体积相加 $R^3=r_1^3+r_2^3+r_3^3$。

✅【答案】

Success

大锡球的半径为6厘米

✍【详细解析】

Abstract

设大锡球半径为 $R$，三个小锡球半径分别为 $r_1,r_2,r_3$，则 $r_1=\sqrt{\frac{36\pi }{4\pi }}=3$，$r_2=\sqrt{\frac{64\pi }{4\pi }}=4$，$r_3=\sqrt{\frac{100\pi }{4\pi }}=5$。熔成大锡球体积不变：$\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \left(r_1^3+r_2^3+r_3^3\right)$，所以 $R=\sqrt[3]{3^3+4^3+5^3}=\sqrt[3]{216}=6$。答：这个大锡球的半径应为6厘米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三球熔铸求半径

核心方法：体积守恒

避坑指南：$R^3=r_1^3+r_2^3+r_3^3=216$；熔铸守恒体积，表面积不能相加

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：熔铸问题

结论推广：$R=\sqrt[3]{3^3+4^3+5^3}=6$

方法推广：熔铸守恒的是体积不是表面积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-11 填-球体积与表面积相等