1977-湖北-07 解-三次函数极值

本题导读

本题考查导数求极值（参考题，大学内容）。核心在于 $f^{\prime }(x)=3x^2-12=0$ 得驻点 $x=\pm 2$，代回得极值点，再算指定函数值。

📌【题干】

Question

（1977年湖北卷） 设函数 $f(x)=x^3-12x+10$. (1)求 $f(x)$ 的极值点；

(2)求 $f(1)$，$f(2)$，$f(-3)$.

🔍【思路分析】

破题导航

$f^{\prime }(x)=3x^2-12=0$ 得 $x=\pm 2$；$f(2)=-6$，$f(-2)=26$，极值点 $(2,-6)$、$(-2,26)$；$f(1)=-1$，$f(-3)=19$。

✅【答案】

Success

(1)极值点为 $(2,-6)$ 和 $(-2,26)$(2)$f(1)=-1$，$f(2)=-6$，$f(-3)=19$

✍【详细解析】

Abstract

(1)在极值点，必定 $f^{\prime }(x)=0$，即 $f^{\prime }(x)=3x^2-12=0$。解得 $x=\pm 2$。这时 $f(2)=-6$，$f(-2)=26$。所以函数 $f(x)=x^3-12x+10$ 的极值点为 $(2,-6)$ 和 $(-2,26)$。 (2)$f(1)=1-12+10=-1$，$f(2)=8-12\times 2+10=-6$，$f(-3)=(-3{)}^3-12\times (-3)+10=19$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值

核心方法：驻点定极值

避坑指南：$f^{\prime }(x)=3x^2-12=0$ 得 $x=\pm 2$，代回求点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极值

结论推广：极值点 $(2,-6)$、$(-2,26)$；$f(1)=-1$，$f(2)=-6$，$f(-3)=19$

方法推广：驻点代回

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1977-河南-08 解-产量与消耗二次函数