1977-河南-09 解-直线与圆交点及切线

本题导读

本题考查直线与圆。核心在于把直线 $y-3\sqrt{2}=kx$ 代入圆 $x^2+y^2=9$ 解出交点 $M$，$N$；$M$，$N$ 重合即判别式为零，$k=\pm 1$，两切线斜率互为负倒数故垂直。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷） 已知过点 $P(0,3\sqrt{2})$ 且斜率为 $k$ 的直线与圆心在原点，半径为 $3$ 的圆相交于 $M$，$N$ 两点. (1)求 $M$，$N$ 的坐标；

(3)问当 $M$，$N$ 两点重合时，$k$ 为何值？过 $P$ 点的直线与圆的位置关系如何？这样的直线有几条？它们的夹角是多大？（注：原卷小问编号即如此，从(1)直接到(3)）

🔍【思路分析】

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(1)联立 $y-3\sqrt{2}=kx$ 与 $x^2+y^2=9$，解出交点坐标（含 $\sqrt{k^2-1}$）；(3)重合即 $k^2-1=0$，$k=\pm 1$，切线 $y=\pm x+3\sqrt{2}$，斜率互为负倒数，夹角 $90^{\circ }$。

✅【答案】

Success

(1)$M\left(\frac{-3\sqrt{2}k+3\sqrt{k^2-1}}{1+k^2},\frac{3\sqrt{2}+3k\sqrt{k^2-1}}{1+k^2}\right)$，$N\left(\frac{-3\sqrt{2}k-3\sqrt{k^2-1}}{1+k^2},\frac{3\sqrt{2}-3k\sqrt{k^2-1}}{1+k^2}\right)$(3)$k=\pm 1$，相切，两条，夹角 $90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1)过点 $P(0,3\sqrt{2})$，且斜率为 $k$ 的直线方程是 $y-3\sqrt{2}=kx$。圆心在原点，半径为 $3$ 的圆的方程是 $x^2+y^2=9$。它们的交点坐标 $(x,y)$ 应适合方程组 $y-3\sqrt{2}=kx$，$x^2+y^2=9$。 解此方程组，得交点 $M$，$N$ 的坐标是 $M\left(\frac{-3\sqrt{2}k+3\sqrt{k^2-1}}{1+k^2},\frac{3\sqrt{2}+3k\sqrt{k^2-1}}{1+k^2}\right)$， $N\left(\frac{-3\sqrt{2}k-3\sqrt{k^2-1}}{1+k^2},\frac{3\sqrt{2}-3k\sqrt{k^2-1}}{1+k^2}\right)$。 (3)当 $M$，$N$ 两点重合时，这时 $k^2-1=0$，$k=\pm 1$。这时过 $P$ 点的直线和圆相切。这样的直线有两条：$y=x+3\sqrt{2}$ 和 $y=-x+3\sqrt{2}$。这两条与圆相切的直线的斜率互为负倒数，表示这两条直线垂直，因此这两条切线的夹角为 $90^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆交点及切线

核心方法：联立解交点

避坑指南：直线代入圆得含 $k$ 的交点坐标；相切时 $\Delta =0$ 即 $k=\pm 1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：讨论

结论推广：$k=\pm 1$；两条切线垂直夹角 $90^{\circ }$

方法推广：重合即相切

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切