1977-江西-19 解-相似证二倍角

本题导读

本题考查相似三角形的判定与性质。核心在于延长 $CA$ 至 $D$ 构造等腰三角形，把 $a^2=b(b+c)$ 转化为比例 $\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CD}$，以公共角 $C$ 判相似，再用外角关系收拢出 $\angle A=2\angle B$。

📌【题干】

Question

（1977年江西卷） 三角形的三边为 $a$，$b$，$c$，它们的对角分别为 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$，若 $a^2=b(b+c)$，求证：$\angle A=2\angle B$.

🔍【思路分析】

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延长 $CA$ 到 $D$ 使 $AD=AB=c$，得 $\angle 1=\angle 2$；由 $a^2=b(b+c)$ 变形 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b+c}$ 即 $\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CD}$，加公共角 $\angle C$ 得 $△ABC\sim △BDC$，于是 $\angle B=\angle 1$；最后外角 $\angle A=\angle 1+\angle 2$ 合并。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

如图，延长 $CA$ 到 $D$ 使 $AD=AB=c$，连接 $DB$。 因为 $AD=AB$，所以 $\angle 1=\angle 2$。 又因为 $a^2=b(b+c)$，所以 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b+c}$，也即在 $△ABC$ 与 $△BDC$ 中，$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CD}$。 又 $\angle C$ 公用，所以 $△ABC\sim △BDC$。所以 $\angle B=\angle 1$，$\angle A=\angle B+\angle 2$（$\angle A$ 是 $△ABD$ 的外角，$\angle A=\angle 1+\angle 2$，而 $\angle 1=\angle B$）。 故 $\angle A=\angle B+\angle 2=\angle B+\angle 1=\angle B+\angle B=2\angle B$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相似证二倍角

核心方法：构造相似三角形

避坑指南：延长 $CA$ 至 $D$ 使 $AD=AB$，用 $a^2=b(b+c)$ 凑比例 + 公共角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：$\angle A=2\angle B$

方法推广：延长构造等腰

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.09 倍角定理

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-04 单-二倍角与函数性质