1977-江西-17 解-排列计数两问

本题导读

本题考查排列计数。核心在于(1)按首位数字分类直接分步计数，(2)按末两位是 $4$ 的倍数的可能情形分类并剔除 $0$ 作首位。

📌【题干】

Question

（1977年江西卷） 用 $0$，$2$，$5$，$7$，$9$ 诸数字组成没有重复数字的四位数中： (1)大于 $5000$ 的有多少个？

(2)是 $4$ 的倍数的有多少个？

🔍【思路分析】

破题导航

(1)首位取 $5,7,9$，余下三位从剩余 $4$ 个数字中排列 $A_4^3$；(2)末两位只能是 $92,72,52,20$，前三类须剔除 $0$ 开头，末类 $20$ 无需剔除。

✅【答案】

Success

(1)$72$ 个(2)$18$ 个

✍【详细解析】

Abstract

(1)以 $5$，$7$，$9$ 为首位数字的四位数都大于 $5000$，因此大于 $5000$ 的四位数共有 $3A_4^3=3\times 4\times 3\times 2=72$ 个。 (2)最后两位数字是 $92$，$72$，$52$，$20$ 的四位数都是 $4$ 的倍数。 最后两位数字是 $92$ 的四位数有 $(A_3^2-A_2^1)$ 个；最后两位数字是 $72$ 的四位数有 $(A_3^2-A_2^1)$ 个；最后两位数字是 $52$ 的四位数有 $(A_3^2-A_2^1)$ 个；最后两位数字是 $20$ 的四位数有 $A_3^2$ 个。 因此是 $4$ 的倍数的四位数共有 $A_3^2+3(A_3^2-A_2^1)=6+3\times (6-2)=18$ 个。 答：用 $0$，$2$，$5$，$7$，$9$ 诸数字组成没有重复数字的四位数中，大于 $5000$ 的有 $72$ 个；是 $4$ 的倍数的有 $18$ 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列计数两问

核心方法：分类计数

避坑指南：首位限制与末两位整除分类，容斥去 $0$ 开头

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：计数

结论推广：$72$ 个；$18$ 个

方法推广：分类加法、分步乘法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）
• 1984-全国文-11 填-不相邻排列计数