1977-新疆理-13 解-导数求切线

本题导读

本题考查导数求切线（参考题）。核心在于隐函数求导得斜率，点斜式写切线。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(理)） 应用导数，求过曲线 $x^2+y^2-8x-2y+12=0$ 上一点 $P(5,3)$ 的切线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

两边求导 $2x+2y{y}^{\prime }-8-2y^{\prime }=0$，$y^{\prime }=\frac{4-x}{y-1}$，$k=\frac{4-5}{3-1}=-\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

对 $x^2+y^2-8x-2y+12=0$ 两边求导：$2x+2y{y}^{\prime }-8-2y^{\prime }=0$，解得 $y^{\prime }=\frac{4-x}{y-1}$。过 $P(5,3)$ 的切线斜率 $k=\frac{4-5}{3-1}=-\frac{1}{2}$。故切线方程为 $y-3=-\frac{1}{2}(x-5)$，即 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数求切线

核心方法：隐函数求导求切线斜率

避坑指南：y′= (4-x)/(y-1)，k=(4-5)/(3-1)=-1/2，切线 y-3=-(x-5)/2。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于隐函数求导求切线（参考题）。

结论推广：隐函数两边求导解出 y′，代入切点得斜率。

方法推广：y′=(4-x)/(y-1) 是本题核心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

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