1977-新疆理-09 解-圆切线方程

本题导读

本题考查圆的一般方程切线。核心在于切点 $(3,2\sqrt{3})$ 代入切线公式。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(理)） 求经过圆 $2x^2-20x+2y^2+18=0$ 上一点 $P(3,2\sqrt{3})$ 的切线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

切线 $2\cdot 3x-20\cdot \frac{3+x}{2}+2\cdot 2\sqrt{3}y+18=0$，化简。

✅【答案】

Success

$\sqrt{3}y-x-3=0$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $P(3,2\sqrt{3})$ 在圆上，过 $P$ 的切线方程为 $2(3x)-20\left(\frac{3+x}{2}\right)+2(2\sqrt{3}y)+18=0$，即 $6x-30-10x+4\sqrt{3}y+18=0$，化简得 $\sqrt{3}y-x-3=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆切线方程

核心方法：圆的一般方程切线（切点代入法）

避坑指南：切线 2·3x-20·(3+x)/2+2·2√3y+18=0 化简为 √3y-x-3=0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆的切线方程，考查一般方程下的切线。

结论推广：圆 x²+y²+Dx+Ey+F=0 上点 (x₀,y₀) 的切线可用替换法。

方法推广：把 x² 换 xx₀、x 换 (x+x₀)/2 得到切线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-云南-04 解-圆切线方程
• 1977-宁夏-12 解-圆的方程