1977-新疆理-07 解-半角公式求值

本题导读

本题考查半角公式求值。核心在于由 α 范围定 α/2 象限，半角公式取负。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(理)） 已知 $\sin \alpha =-\frac{12}{13}$，并且 $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$，求 $\cos \frac{\alpha }{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{\pi }{2}<\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}$，$\cos \alpha =-\frac{5}{13}$，$\cos \frac{\alpha }{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{2\sqrt{13}}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$，所以 $\frac{\pi }{2}<\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}$，$\cos \alpha$ 与 $\cos \frac{\alpha }{2}$ 均为负。$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(-\frac{12}{13}\right)}^2}=-\frac{5}{13}$。故 $\cos \frac{\alpha }{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{5}{13}}{2}}=-\frac{2\sqrt{13}}{13}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求值

核心方法：半角公式 + 象限定号

避坑指南：α∈(π,3π/2) 得 α/2∈(π/2,3π/4)，cos(α/2)<0；cosα=-5/13，cos(α/2)=-2√13/13。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于半角公式，考查象限定号。

结论推广：cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)，符号由 α/2 所在象限决定。

方法推广：π<α<3π/2 推出 cos(α/2)<0 是定号关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1977-宁夏-05 解-同角三角关系
• 1977-广西理-03 解-诱导公式求值