1977-新疆文-06 解-梯形拦水坝宽

本题导读

本题考查梯形拦水坝的应用。核心在于用 $\cot \theta$ 求坡面的水平投影，再叠加坝顶宽。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(文)） 水库拦水坝的横断面为梯形，坝顶宽 2.5 米，坝高 4 米，迎水坡、背水坡与水平面的夹角分别是 $30^{\circ }$ 和 $45^{\circ }$，求坝底的宽（精确到 0.1 米）.

🔍【思路分析】

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作 $AE\perp BC$、$DF\perp BC$，则 $AE=DF=4$；$BE=AE\cot 30^{\circ }=4\sqrt{3}$，$CF=DF=4$，$EF=AD=2.5$。

✅【答案】

Success

$13.4$ 米

✍【详细解析】

Abstract

分别由 $A,D$ 作 $AE\perp BC$、$DF\perp BC$，则 $AE=DF=4$。$BE=AE\cot 30^{\circ }=4\sqrt{3}$（米）；背水坡与水平面夹角 $45^{\circ }$，故 $CF=DF\cot 45^{\circ }=4\times 1=4$（米）。又 $EF=AD=2.5$，所以坝底宽 $BC=BE+EF+CF=4\sqrt{3}+4+2.5\approx 6.93+6.5=13.4$（米）。答：坝底宽约 $13.4$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：梯形拦水坝宽

核心方法：直角三角形的边角关系 cot 求水平投影

避坑指南：BE=AE·cot30°=4√3，CF=DF=4（45° 坡），EF=AD=2.5，BC=4√3+4+2.5=13.4 米。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于梯形拦水坝问题，考查坡角与水平投影。

结论推广：坡角 θ 的水平投影 = 铅垂高 × cotθ。

方法推广：45° 坡的水平投影等于高度 4 米（CF=DF=4）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 1977-重庆-08 解-梯形求三角比
• 1977-辽宁-09 解-等腰梯形的判定