1977-新疆文-03 解-指数幂化简与对数求值

本题导读

本题考查指数幂化简与对数求值。核心在于幂运算律合并同底指数，及 $\lg \sqrt{800}$ 的拆分。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(文)） (1)化简：$\frac{\frac{3}{4}(ab{)}^{-\frac{1}{3}}{\left(\frac{4}{9}{a}^4{b}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{1}{2}}}{2a^3\sqrt{a^2}}$；(2)已知 $\lg 2=0.3010$，求 $\lg \sqrt{800}$.

🔍【思路分析】

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(1)同底幂指数相加，分子 $a^{-\frac{1}{3}+2}$、$b^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}$，再与分母 $2a^3\cdot a$ 相除；(2)$\lg \sqrt{800}=\lg 10+\frac{3}{2}\lg 2$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{\sqrt[3]{a^2}}{4a^3}$；(2)$1.4515$

✍【详细解析】

Abstract

(1)原式 $=\frac{\frac{3}{4}{a}^{-\frac{1}{3}}{b}^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{2}{3}{a}^2{b}^{\frac{1}{3}}}{2a^3\cdot a}=\frac{\frac{1}{4}{a}^{-\frac{1}{3}+2}{b}^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}{a^4}=\frac{1}{4}{a}^{\frac{5}{3}-4}{b}^0=\frac{1}{4}{a}^{-\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}}{4a^3}$。(2)$\lg \sqrt{800}=\lg \sqrt{2^3\times 10^2}=\lg 10+\frac{3}{2}\lg 2=1+\frac{3}{2}\times 0.3010=1.4515$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数幂化简与对数求值

核心方法：幂指数运算法则化简 + 对数换底求值

避坑指南：(1)同底幂指数相加，a^(-1/3+2-3-1)=a^(-7/3)，原式=³√(a²)/(4a³)；(2)lg√800=lg10+3/2·lg2=1.4515。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于指数幂化简与对数求值，考查幂运算律与 lg2。

结论推广：a^m·a^n=a^(m+n)，lg√800=lg(2^3×10²)/2。

方法推广：指数 -1/3+2-3-1=-7/3 的合并是化简关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-安徽文-02 解-根式与对数化简
• 1977-广西百色文-03 解-分式化简代入