1977-广西百色理-10 解-对数比值条件

本题导读

本题考查含条件对数方程。核心在于化同底后因式分解得两组比，再用真数 $x-2y>0$ 筛解。

📌【题干】

Question

（1977年广西百色卷(理)） 已知 $2\lg (x-2y)=\lg x+\lg y$.求 $x:y$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\lg (x-2y{)}^2=\lg xy$ 得 $(x-2y{)}^2=xy$，分解 $(x-4y)(x-y)=0$；由 $x>2y>0$ 排除 $x:y=1$。

✅【答案】

Success

$x:y=4$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $2\lg (x-2y)=\lg x+\lg y$，所以 $\lg (x-2y{)}^2=\lg xy$，即 $(x-2y{)}^2=xy$。于是 $(x-4y)(x-y)=0$。由 $x-4y=0$ 得 $x:y=4$；由 $x-y=0$ 得 $x:y=1$。因为当 $x>0$，$y>0$ 时原方程才有意义，且需 $x-2y>0$；当 $x:y=1$ 时 $x-2y=-y<0$，$\lg (x-2y)$ 没有意义，所以 $x:y=4$ 是原方程的解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数比值条件

核心方法：真数非负先行

避坑指南：$x-2y>0$ 排除 $x:y=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式

结论推广：$x:y=4$

方法推广：真数条件反过来筛解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-湖北-04 解-对数方程组
• 1977-广东-03 解-指数对数两连