1977-广西理-11 解-三等分点正切积

本题导读

本题考查几何三角综合证明。核心在于直径对直角，设参数角 $\theta$ 用三角函数表示各线段，两法均可。

📌【题干】

Question

（1977年广西卷(理)） 线段 $AB$ 之三等分点依次为 $C$，$D$，以 $CD$ 为直径画圆，在圆周上任取一点 $P$.求证 $\tan \angle APC\cdot \tan \angle BPD=\frac{1}{4}$.

🔍【思路分析】

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证1：设 $PC$ 与 $CD$ 夹角 $\theta$，$PC=a\cos \theta$、$PD=a\sin \theta$，用和差角公式算两个正切。证2：作平行线把两个角都化成直角三角形中的正切，比值直接相乘。

✅【答案】

Success

$\tan \angle APC\cdot \tan \angle BPD=\frac{1}{4}$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

证明1：记 $PC$ 和 $CD$ 的夹角为 $\theta$，并假定 $AC=CD=DB=a$。作 $PE\perp AB$ 交 $AB$ 于 $E$。因为 $CD$ 是圆的直径，所以 $\angle CPD=90^{\circ }$。因此 $PD=a\sin \theta$，$PC=a\cos \theta$，$PE=PC\sin \theta =a\sin \theta \cos \theta$。又 $CE=PC\cos \theta =a{\cos }^2\theta$，$DE=a-CE=a{\sin }^2\theta$。所以 $\tan A=\frac{PE}{AE}=\frac{a\sin \theta \cos \theta }{a(1+{\cos }^2\theta )}=\frac{\tan \theta }{2+{\tan }^2\theta }$，$\tan B=\frac{PE}{BE}=\frac{a\sin \theta \cos \theta }{a(1+{\sin }^2\theta )}=\frac{\tan \theta }{1+2{\tan }^2\theta }$。而 $\tan \angle APC=\tan (\theta -A)=\frac{\tan \theta -\tan A}{1+\tan \theta \tan A}=\frac{\tan \theta }{2}$，$\tan \angle BPD=\tan (90^{\circ }-\theta -B)=\cot (\theta +B)=\frac{1-\tan \theta \tan B}{\tan \theta +\tan B}=\frac{1}{2\tan \theta }$。所以 $\tan \angle APC\cdot \tan \angle BPD=\frac{\tan \theta }{2}\cdot \frac{1}{2\tan \theta }=\frac{1}{4}$。证明2：作 $DE\parallel CP$ 交 $PB$ 于 $E$，作 $CF\parallel DP$ 交 $AP$ 于 $F$。因为 $P$ 在以 $CD$ 为直径的圆周上，所以 $\angle CPD=90^{\circ }$。又因为 $AC=CD=DB$，所以 $DE=\frac{1}{2}CP$，$CF=\frac{1}{2}DP$，且 $\angle PDE=\angle CPD=\angle PCF=90^{\circ }$。所以 $\tan \angle APC\cdot \tan \angle BPD=\frac{CF}{PC}\cdot \frac{DE}{PD}=\frac{\frac{1}{2}DP}{PC}\cdot \frac{\frac{1}{2}CP}{PD}=\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三等分点正切积

核心方法：参数角+锐角三角

避坑指南：$\angle CPD=90^{\circ }$，$PC=a\cos \theta$、$PD=a\sin \theta$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何恒等式

结论推广：$\tan \angle APC\cdot \tan \angle BPD=\frac{1}{4}$

方法推广：直径对直角是突破口

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色理-11 解-弓形内接正方形
• 1977-安徽文-05 解-和差化积证明