1977-广西理-10 解-三次根式方程组

本题导读

本题考查三次根式方程组。核心在于把三个三次根式视为整体，提取公因式分为两组方程。

📌【题干】

Question

（1977年广西卷(理)） 解方程组 $\sqrt[3]{(x+y{)}^2}+2\sqrt[3]{(x-y{)}^2}=3\sqrt[3]{x^2-y^2}$，$3x-2y=13$.

🔍【思路分析】

破题导航

第一式整理为 $(\sqrt[3]{x+y}-\sqrt[3]{x-y})(\sqrt[3]{x+y}-2\sqrt[3]{x-y})=0$，分两组与 $3x-2y=13$ 联立。

✅【答案】

Success

$(x,y)=\left(\frac{13}{3},0\right)$ 或 $(x,y)=(9,7)$

✍【详细解析】

Abstract

原方程组等价于 $\sqrt[3]{x+y}(\sqrt[3]{x+y}-\sqrt[3]{x-y})-2\sqrt[3]{x-y}(\sqrt[3]{x+y}-\sqrt[3]{x-y})=0$，$3x-2y=13$，即 $(\sqrt[3]{x+y}-\sqrt[3]{x-y})(\sqrt[3]{x+y}-2\sqrt[3]{x-y})=0$，$3x-2y=13$。分两组：第一组 $\sqrt[3]{x+y}=\sqrt[3]{x-y}$ 即 $x+y=x-y$，与 $3x-2y=13$ 联立得 $x=\frac{13}{3}$，$y=0$；第二组 $\sqrt[3]{x+y}=2\sqrt[3]{x-y}$ 即 $x+y=8(x-y)$，与 $3x-2y=13$ 联立得 $x=9$，$y=7$。经检验两组解都是原方程组的解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次根式方程组

核心方法：提取公因式分组

避坑指南：三次根式提 $(\sqrt[3]{x+y}-\sqrt[3]{x-y})$ 分两组

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：无理方程组

结论推广：$(x,y)=\left(\frac{13}{3},0\right)$ 或 $(9,7)$

方法推广：三次根式当整体提取

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1977-湖北-04 解-对数方程组
• 1977-广西百色理-10 解-对数比值条件