1977-广西理-09 解-半圆矩形零件面积

本题导读

本题考查优化设计。核心在于半圆周长 $\frac{\pi x}{2}$、矩形高由总周长反推，面积配顶点。

📌【题干】

Question

（1977年广西卷(理)） 把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，已知零件的周长是 $P$，怎样才能使冲出的零件面积最大？

🔍【思路分析】

破题导航

设矩形宽 $x$：矩形高 $=\frac{2P-(\pi +2)x}{4}$；$S=\frac{\pi x^2}{8}+\frac{2Px-(\pi +2)x^2}{4}$ 配顶点。

✅【答案】

Success

矩形的宽与高之比为 $2:1$ 时，零件面积最大

✍【详细解析】

Abstract

设矩形的宽为 $x$，零件的面积为 $S$。半圆的周长 $=\frac{\pi }{2}x$，矩形的高 $=\frac{1}{2}\left(P-\frac{\pi x}{2}-x\right)=\frac{2P-(\pi +2)x}{4}$。半圆面积 $=\frac{\pi }{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{8}{x}^2$，矩形面积 $=x\cdot \frac{2P-(\pi +2)x}{4}=\frac{2Px-(\pi +2)x^2}{4}$。所以 $S=\frac{\pi }{8}{x}^2+\frac{2Px-(\pi +2)x^2}{4}=-\frac{\pi +4}{8}{x}^2+\frac{P}{2}x$。因为 $a=-\frac{\pi +4}{8}<0$，所以当 $x=-\frac{b}{2a}=\frac{2P}{\pi +4}$ 时 $S$ 有极大值。这时矩形的高 $=\frac{2P-(\pi +2)\cdot \frac{2P}{\pi +4}}{4}=\frac{P}{\pi +4}$。所以矩形的宽:高 $=\frac{2P}{\pi +4}:\frac{P}{\pi +4}=2:1$。答：应当使矩形的宽和高的比为 $2:1$ 时，冲出的零件面积最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半圆矩形零件面积

核心方法：二次函数顶点

避坑指南：$S=-\frac{\pi +4}{8}{x}^2+\frac{P}{2}x$，顶点在 $x=\frac{2P}{\pi +4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：优化设计

结论推广：宽:高 $=2:1$

方法推广：半圆直径与矩形宽同长

🔗【关联脉络】

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