1977-广西文-02 解-割线定理证明

本题导读

本题考查割线定理。核心在于同弧圆周角相等加公共角得相似，比例式交叉相乘。

📌【题干】

Question

（1977年广西卷(文)） $P$ 是圆外一点，过 $P$ 作两条直线，一条交圆于 $C$，$A$ 两点，一条交圆于 $D$，$B$ 两点，求证 $PA\cdot PC=PB\cdot PD$.

🔍【思路分析】

破题导航

连 $AD$、$BC$；$\angle B=\angle A$（同弧圆周角）、$\angle P$ 公用，$△PDA\sim △PCB$。

✅【答案】

Success

$PA\cdot PC=PB\cdot PD$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

证明：因为 $\angle B=\angle A$（同弧上的圆周角相等），$\angle P$ 是公用角，所以 $△PDA\sim △PCB$。从而 $\frac{PA}{PB}=\frac{PD}{PC}$，所以 $PA\cdot PC=PB\cdot PD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：割线定理证明

核心方法：相似比乘积

避坑指南：同弧圆周角 $\angle B=\angle A$ 加公共角 $\angle P$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆幂定理

结论推广：$PA\cdot PC=PB\cdot PD$

方法推广：割线定理的相似证明

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

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• 1977-广西百色文-06 解-高线圆周角等角