1977-广东-09 解-排版用纸最省

本题导读

本题考查均值不等式求最值。核心在于把 $S$ 配成倒数积为定值的两项加常数。

📌【题干】

Question

（1977年广东卷） 有一份印刷品，其排版面积（矩形）占432平方厘米，它的两边都留有4厘米宽的空白，顶部和底部留有3厘米宽的空白.问应该如何选取纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？

🔍【思路分析】

破题导航

设纸 $x\times y$，$(x-8)(y-6)=432$；$S$ 化为 $\frac{3456}{x-8}+6(x-8)+480$ 用均值不等式。

✅【答案】

Success

当选取的纸张左右长32 cm、上下宽24 cm 时，纸的用量最少（$S_{\min }=768$ cm${}^2$）

✍【详细解析】

Abstract

设选取的纸张左右长 $x$ 厘米，上下宽 $y$ 厘米，面积为 $S$ 平方厘米，则 $(x-8)(y-6)=432$，$S=xy$。由上式得 $y=\frac{432}{x-8}+6$。代入 $S=xy$，得 $S=\frac{432x}{x-8}+6x=\frac{432(x-8)+3456}{x-8}+6(x-8)+48=\frac{3456}{x-8}+6(x-8)+480\ge 2\sqrt{3456\times 6}+480=$ 常数。当 $\frac{3456}{x-8}=6(x-8)$ 时等号成立，$S$ 有最小值。解方程得 $x_1=32$ cm，$x_2=-16$（负的不合题意，舍去）。这时 $y=\frac{432}{x-8}+6=24$ cm。即 $x=32$ cm，$y=24$ cm 时，$S$ 达最小值，这时用纸最少。答：当选取的纸张左右长32 cm，上下宽24 cm 时，纸的用量最少。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排版用纸最省

核心方法：均值不等式配对

避坑指南：$\frac{3456}{x-8}+6(x-8)\ge 2\sqrt{3456\times 6}$，等号当两式相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：优化设计

结论推广：纸 $32\times 24$ cm，$S_{\min }=768$ cm${}^2$

方法推广：配对乘积为定值的两个和式用均值不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 2004-上海卷文-18 解-框架用料最省