1977-安徽理-07 解-坐标旋转化椭圆

本题导读

本题考查一般二次方程的轨迹判断。核心在于坐标旋转 $\phi =\frac{\pi }{4}$ 消去交叉项，化出标准椭圆。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(理)） 判断下列方程的轨迹，并画图象：$25x^2-14xy+25y^2-288=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

作旋转变换 $x=x^{\prime }\cos \phi -y^{\prime }\sin \phi$，$y=x^{\prime }\sin \phi +y^{\prime }\cos \phi$，令交叉项系数 $14(\cos 2\phi -\sin 2\phi )=0$ 得 $\phi =\frac{\pi }{4}$，化标准式。

✅【答案】

Success

轨迹是椭圆 $\frac{x^{\prime 2}}{16}+\frac{y^{\prime 2}}{9}=1$

✍【详细解析】

Abstract

作坐标旋转变换，设坐标系向逆时针方向旋转 $\phi$ 角，变换公式为 $x=x^{\prime }\cos \phi -y^{\prime }\sin \phi$，$y=x^{\prime }\sin \phi +y^{\prime }\cos \phi$。代入原方程整理后得 $(25-14\sin \phi \cos \phi )x^{\prime 2}+(25+14\sin \phi \cos \phi )y^{\prime 2}-14({\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi )x^{\prime }{y}^{\prime }-288=0$。令 $14({\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi )=0$（使 $x^{\prime }{y}^{\prime }$ 项系数为 $0$），得 $\phi =\frac{\pi }{4}$。这时方程化为 $18x^{\prime 2}+32y^{\prime 2}-288=0$，即 $9x^{\prime 2}+16y^{\prime 2}=144$，也就是 $\frac{x^{\prime 2}}{16}+\frac{y^{\prime 2}}{9}=1$。从而断定，原方程的轨迹是个椭圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：坐标旋转化椭圆

核心方法：旋转消交叉项

避坑指南：$\phi =\frac{\pi }{4}$ 使 $x^{\prime }{y}^{\prime }$ 项消失，化标准椭圆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：判断轨迹

结论推广：椭圆 $\frac{x^{\prime 2}}{16}+\frac{y^{\prime 2}}{9}=1$

方法推广：旋转 $45^{\circ }$ 消交叉项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-24 单-椭圆的标准方程
• 1987-广东文-27 填-椭圆的标准方程