1977-安徽文-10 解-椭圆基本量

本题导读

本题考查椭圆的基本量。核心在于化标准方程后注意焦点在 $y$ 轴，长轴在 $y$ 方向。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(文)） 求椭圆 $25x^2+9y^2=100$ 的长轴和短轴的长，焦点坐标，并且画出它的图象.

🔍【思路分析】

破题导航

化为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{100}{9}}=1$，$y$ 方向半轴 $\frac{10}{3}$ 大于 $x$ 方向半轴 $2$，焦点在 $y$ 轴，$c=\sqrt{{\left(\frac{10}{3}\right)}^2-4}=\frac{8}{3}$。

✅【答案】

Success

短轴长 $4$，长轴长 $\frac{20}{3}$，焦点坐标 $\left(0,\frac{8}{3}\right)$ 和 $\left(0,-\frac{8}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

原方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{100}{9}}=1$。短半轴 $a=2$，故短轴 $2a=4$。长半轴 $b=\frac{10}{3}$，故长轴 $2b=\frac{20}{3}$。半焦距 $c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{\frac{100}{9}-4}=\frac{8}{3}$。故焦点坐标为 $\left(0,\frac{8}{3}\right)$ 和 $\left(0,-\frac{8}{3}\right)$。图象：中心在原点、长轴在 $y$ 轴上的椭圆，顶点 $(\pm 2,0)$、$\left(0,\pm \frac{10}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆基本量

核心方法：化标准方程

避坑指南：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{100}{9}}=1$ 焦点在 $y$ 轴

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基本量

结论推广：短轴 $4$，长轴 $\frac{20}{3}$，焦点 $(0,\pm \frac{8}{3})$

方法推广：先化标准再读量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-24 单-椭圆的标准方程
• 1987-广东文-27 填-椭圆的标准方程