1977-安徽文-08 解-俯角测山高

本题导读

本题考查俯角测量山高。核心在于利用内错角把俯角转为三角形内角，两个直角三角形联动。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(文)） 从山顶 $D$ 测得地面上同一方向的两点 $A$ 和 $B$ 的俯角分别是 $30^{\circ }$ 和 $45^{\circ }$，已知 $AB=40$ 米，求山高.（精确到 $0.1$，$C$ 为 $D$ 在地面上的射影，$A$、$B$、$C$ 共线）

🔍【思路分析】

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俯角即内错角：$\angle DAB=30^{\circ }$，$\angle DBC=45^{\circ }$，故 $BC=DC$；在 Rt$△DAC$ 中 $\tan 30^{\circ }=\frac{DC}{40+DC}$，解出 $DC$。

✅【答案】

Success

$DC=20(\sqrt{3}+1)\approx 54.6$ 米

✍【详细解析】

Abstract

由题设知 $\angle DAB=30^{\circ }$，$\angle DBC=45^{\circ }$，所以 $BC=DC$。在 $△DAC$ 中，$\tan 30^{\circ }=\frac{DC}{AC}=\frac{DC}{40+DC}$，即 $\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{DC}{40+DC}$，$DC=\frac{\sqrt{3}}{3}(40+DC)$，$DC=\frac{\sqrt{3}\cdot 40}{3-\sqrt{3}}=\frac{40}{\sqrt{3}-1}=20(\sqrt{3}+1)\approx 54.6$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：俯角测山高

核心方法：俯角转内角

避坑指南：俯角 $=$ 内错角：$\angle DAB=30^{\circ }$、$\angle DBC=45^{\circ }$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：山高

结论推广：$20(\sqrt{3}+1)\approx 54.6$ 米

方法推广：两个直角三角形联动

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-08 单-俯角解三角形
• 2009-辽宁文-18 解-仰角测量解三角形