1977-安徽文-06 解-三角方程

本题导读

本题考查三角方程。核心在于化为半角因式分解，注意两种解系。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(文)） 解方程 $\sin x+\cos x-1=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\sin x=1-\cos x$ 降幂化为 $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=2{\sin }^2\frac{x}{2}$，因式分解得两支解。

✅【答案】

Success

$x=2k\pi$ 或 $x=2k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k$ 为整数）

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin x=1-\cos x$ 得 $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=2{\sin }^2\frac{x}{2}$，整理得 $\sin \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)=0$。 (1)当 $\sin \frac{x}{2}=0$ 时，$\frac{x}{2}=k\pi$，因此 $x=2k\pi$。 (2)当 $\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}=0$ 时，$\tan \frac{x}{2}=1$，所以 $\frac{x}{2}=k\pi +\frac{\pi }{4}$，$x=2k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$）。 故方程解为：$x=2k\pi$ 和 $x=2k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程

核心方法：半角因式分解

避坑指南：$\sin x=1-\cos x$ 化为 $2\sin \frac{x}{2}(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解方程

结论推广：$x=2k\pi$ 或 $x=2k\pi +\frac{\pi }{2}$

方法推广：半角因式分解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-19 解-三角方程
• 1992-三南-10 单-三角方程的求解