1977-宁夏-13 解-四点共圆证等线段

本题导读

本题考查四点共圆与全等。核心在于四点共圆得等角，等角对公共边证全等得等线段。

📌【题干】

Question

（1977年宁夏卷） 已知圆内接三角形 $ABC$，$AB$、$BC$ 上的高 $CE$、$AD$ 相交于 $H$，$AD$ 延长线与弧 $BC$ 交于 $F$.求证：$HD=FD$.

🔍【思路分析】

破题导航

连 FC，∠1+∠2=90°、∠3+∠2=90° 得 ∠1=∠3；A、B、F、C 四点共圆得 ∠1=∠4；故 ∠3=∠4，DC 公共边，Rt△HDC≅Rt△FDC。

✅【答案】

Success

$HD=FD$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

连接 $FC$。因为 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ }$、$\angle 3+\angle 2=90^{\circ }$，所以 $\angle 1=\angle 3$。又 $A$、$B$、$F$、$C$ 四点共圆，所以 $\angle 1=\angle 4$。由 $\angle 1=\angle 3$ 与 $\angle 1=\angle 4$ 得 $\angle 3=\angle 4$。又 $DC=DC$（公共边），所以 Rt$△HDC\cong$Rt$△FDC$，故 $HD=FD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四点共圆证等线段

核心方法：四点共圆 + 全等证等线段

避坑指南：∠1=∠3、∠1=∠4 得 ∠3=∠4，Rt△HDC≅Rt△FDC，HD=FD。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于四点共圆与全等，考查高线交点的等线段。

结论推广：四点共圆得等角，等角对公共边得全等。

方法推广：∠1+∠2=90°、∠3+∠2=90° 推出 ∠1=∠3 是第一步。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色文-06 解-高线圆周角等角
• 1977-河南-05 解-正方形全等证垂直