1977-宁夏-12 解-圆的方程

本题导读

本题考查圆的方程。核心在于圆心在 y=-2x 上、与 x+y=1 相切于 (2,-1) 联立求圆心半径。

📌【题干】

Question

（1977年宁夏卷） 求与直线 $x+y=1$ 相切于点 $(2,-1)$，并且圆心在直线 $y=-2x$ 上的圆的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

过切点直径斜率 1，与 y=-2x 联立得圆心 (1,-2)，半径 √2。

✅【答案】

Success

$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

直线 $x+y=1$ 斜率为 $-1$，故过切点 $(2,-1)$ 的直径所在直线斜率为 1，即 $y+1=x-2$。与圆心所在直线 $y=-2x$ 联立解得 $x=1$、$y=-2$，圆心 $(1,-2)$。半径 $R=\sqrt{(2-1{)}^2+(-1+2{)}^2}=\sqrt{2}$。故圆的方程为 $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的方程

核心方法：圆心在直线上 + 相切 + 过切点联立

避坑指南：圆心 (1,-2)、半径 √2，圆 (x-1)²+(y+2)²=2。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆的方程，考查圆心在直线上与相切。

结论推广：设圆心 (a,b) 满足 b=-2a，且到切线距离=半径。

方法推广：法一过切点直径、法二距离公式殊途同归。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-云南-04 解-圆切线方程
• 1977-甘肃-08 解-不定积分与切线