1977-吉林-08 解-三角恒等式证明

本题导读

本题考查三角恒等式的证明。核心在于展开 $\sin (\alpha +\beta )$、$\cos (\alpha +\beta )$ 后归向 $\sin (\beta -\alpha )$ 与 $\cos (\beta -\alpha )$。

📌【题干】

Question

（1977年吉林卷） 证明：$\frac{\sin (\alpha +\beta )-2\sin \alpha \cos \beta }{2\sin \alpha \sin \beta +\cos (\alpha +\beta )}=\tan (\beta -\alpha )$.

🔍【思路分析】

破题导航

左边分子分母分别展开和角公式，合并同类项后凑出 $\sin (\beta -\alpha )$、$\cos (\beta -\alpha )$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

左边 $=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta -2\sin \alpha \cos \beta }{2\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }=\frac{\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }=\frac{\sin (\beta -\alpha )}{\cos (\beta -\alpha )}=\tan (\beta -\alpha )=$ 右边。所以原等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式证明

核心方法：和角公式展开

避坑指南：展开 $\sin (\alpha +\beta )$、$\cos (\alpha +\beta )$ 归向 $\sin (\beta -\alpha )$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒等式证明

结论推广：左边化简得 $\tan (\beta -\alpha )$

方法推广：和角公式展开归并

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-16 解-两角和与差的三角函数
• 1989-广东文-26 填-诱导公式与特殊角