1977-吉林-03 解-直角三角形的高

本题导读

本题考查直角三角形中的高线计算。核心在于用等积法求斜边上的高。

📌【题干】

Question

（1977年吉林卷） 在 $△ABC$ 中，$\angle C$ 是直角，$CD$ 是 $AB$ 上的高，已知 $AB=9$，$AC=6$，求 $CD$.

🔍【思路分析】

破题导航

先由勾股定理求 $BC$，再用 $\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$ 求 $CD$。

✅【答案】

Success

$CD=2\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\angle C$ 是直角，由勾股定理得 $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{81-36}=3\sqrt{5}$。又因为 $CD$ 是 $AB$ 边上的高，所以 $\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，因此 $CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{6\cdot 3\sqrt{5}}{9}=2\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直角三角形的高

核心方法：面积法求高

避坑指南：$\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$ 等积求高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求高

结论推广：$CD=2\sqrt{5}$

方法推广：等积法求斜边上的高

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2010-广东卷文-14 填-中位线与勾股
• 2003-大纲文-15 填-勾股定理空间类比