1977-云南-03 解-两圆相切证垂直

本题导读

本题考查两圆相切与切线长定理。核心在于过切点 C 作内公切线，用切线长相等证 ∠ACB=90°。

📌【题干】

Question

（1977年云南卷） 如图，设两圆相切于 $C$ 点，$PQ$ 是两圆的外公切线，$A$、$B$ 分别为 $PQ$ 与两圆相切的切点，试证明 $AC\perp BC$.

🔍【思路分析】

破题导航

过 C 作内公切线 CD 交 PQ 于 D，则 DA=DC、DC=DB，得 ∠DAC=∠DCA、∠DCB=∠DBC；再由内角和 180° 推出 ∠ACB=90°。

✅【答案】

Success

$AC\perp BC$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

过 $C$ 作两圆的内公切线 $CD$，交 $PQ$ 于 $D$。因为 $DA$、$DC$ 是从 $D$ 引同一圆的切线，所以 $DA=DC$，故 $\angle DAC=\angle DCA$。同理 $DC=DB$，故 $\angle DCB=\angle DBC$。又 $\angle DAC+\angle DCA+\angle DCB+\angle DBC=180^{\circ }$，即 $2(\angle DCA+\angle DCB)=180^{\circ }$，所以 $\angle ACB=\angle DCA+\angle DCB=90^{\circ }$，即 $AC\perp BC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两圆相切证垂直

核心方法：作内公切线，用切线长相等证等角再证垂直

避坑指南：内公切线过切点 C 是关键辅助线；两角之和 180° 推出 90° 需交代清楚。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆与圆位置关系中的公切线性质，是经典几何证明题。

结论推广：“两圆相切→作内公切线→切线长相等”可推广到任意两圆外切情形。

方法推广：切线长定理（圆外一点引两切线长相等）是本题核心工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-11 解-圆的切线
• 1977-广东-06 解-双切线等长证明