2006-陕西卷理-21 解-二阶贝塞尔曲线

本题导读

本题是一道解析几何与平面向量交汇的综合压轴大题。核心背景是计算机图形学中的二阶贝塞尔曲线。第一问利用变量 $t$ 的参数化坐标写出动直线斜率，并通过研究二次函数性质求解范围；第二问通过代数消元法消去参数 $t$，求得动点 $M$ 的二次型轨迹方程。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 如图，三定点 $A(2,1)$， $B(0,-1)$， $C(-2,1)$，三动点 $D,E,M$ 满足 $\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AB}$， $\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BC}$， $\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DE}$， $t\in [0,1]$.

(1) 求动直线 $DE$ 斜率的变化范围；

(2) 求动点 $M$ 的轨迹方程.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：已知 $A,B,C$ 坐标。写出基底向量 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ 的坐标。利用分点公式将动点 $D,E$ 的坐标用参数 $t$ 显式表达出来。利用直线的斜率公式 $k=\frac{y_E-y_D}{x_E-x_D}$ 写出关于 $t$ 的有理分式（或简化后的一元函数），结合 $t\in [0,1]$ 研究其单调性与最值范围。 第二问：由条件 $\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DE}⟹\overrightarrow{OM}=(1-t)\overrightarrow{OD}+t\overrightarrow{OE}$。将 $D,E$ 的坐标代入，得到动点 $M(x,y)$ 关于参数 $t$ 的参数方程组。最后通过第一式反解出 $t$ 或直接代数消去 $t$，转化为关于 $x,y$ 的直角坐标方程。

✅【答案】

Success

(1) 动直线 $DE$ 斜率的变化范围为 $[-1,1]$；

(2) 动点 $M$ 的轨迹方程为 $y=\frac{1}{4}{x}^2(x\in [-2,2])$。

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 由已知定点坐标 $A(2,1)$， $B(0,-1)$， $C(-2,1)$ 可得向量： $\overrightarrow{AB}=(0-2,-1-1)=(-2,-2)$ $\overrightarrow{BC}=(-2-0,1-(-1))=(-2,2)$

设动点 $D(x_D,y_D)$。由条件 $\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AB}$： $(x_D-2,y_D-1)=t(-2,-2)=(-2t,-2t)$ 解得动点 $D$ 的坐标为： $D(2-2t,1-2t)$

设动点 $E(x_E,y_E)$。由条件 $\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BC}$： $(x_E-0,y_E-(-1))=t(-2,2)=(-2t,2t)$ 解得动点 $E$ 的坐标为： $E(-2t,2t-1)$

根据两点间斜率计算公式，动直线 $DE$ 的斜率 $k$ 满足： $k=\frac{y_E-y_D}{x_E-x_D}=\frac{(2t-1)-(1-2t)}{-2t-(2-2t)}=\frac{4t-2}{-2}=1-2t$ 因为已知参数 $t\in [0,1]$，对其作用一元一次不等式放缩： $0\le t\le 1⟹0\ge -2t\ge -2⟹1\ge 1-2t\ge -1$ 即： $-1\le k\le 1$ 所以，动直线 $DE$ 斜率的变化范围是 $[-1,1]$。

(2) 由条件 $\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DE}$，设动点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$。 展开为坐标分量式： $(x-x_D,y-y_D)=t(x_E-x_D,y_E-y_D)$ $x=(1-t)x_D+t{x}_E$ $y=(1-t)y_D+t{y}_E$ 将前面求得的 $D(2-2t,1-2t)$ 和 $E(-2t,2t-1)$ 代入上式中： $x=(1-t)(2-2t)+t(-2t)=2(1-t{)}^2-2t^2=2(1-2t+t^2)-2t^2=2-4t$ $y=(1-t)(1-2t)+t(2t-1)=(1-t)(1-2t)-t(1-2t)=(1-2t{)}^2=1-4t+4t^2$

由此得到动点 $M$ 的参数方程组： $\{\begin{array}{l}x=2-4t\text{(3)}\\ y=4t^2-4t+1\text{(4)}\end{array}$

下面通过代数消元法消去参数 $t$。由 ③ 式可反解得： $4t=2-x⟹t=\frac{2-x}{4}$ 因为 $t\in [0,1]$，代入其自变量约束范围： $0\le \frac{2-x}{4}\le 1⟹0\le 2-x\le 4⟹-2\le x\le 2$

将 $4t=2-x$ 整体代入 ④ 式中进行项次代换： $y=(2t-1{)}^2={\left(2\cdot \frac{2-x}{4}-1\right)}^2={\left(\frac{2-x}{2}-1\right)}^2={\left(\frac{2-x-2}{2}\right)}^2={\left(-\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{x^2}{4}$ 即得到直角坐标轨迹方程为： $y=\frac{1}{4}{x}^2$

结合自变量 $x$ 的定义域范围约束 $[-2,2]$，动点 $M$ 的轨迹方程为： $y=\frac{1}{4}{x}^2(x\in [-2,2])$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量共线坐标分量式表达、参数方程向直角坐标方程的消参转换、一元函数最值单调性及隐式定义域判定。
• 核心方法：坐标参数化消参法。
• 避坑指南：
• 第二问求出 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ 后，千万不要漏掉自变量 $x$ 的取值范围约束 $[-2,2]$。由于原参数 $t$ 限制在闭区间 $[0,1]$ 内，其映射出的 $x=2-4t$ 只能在 $[-2,2]$ 之间移动，缺少定义域在解析几何大题中会被扣除 2～3 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题具有非常高深的计算机图形学与微分几何背景。其本质是**二阶贝塞尔曲线（Quadratic Bézier curve）**的动态生成算式，在现代网页字型渲染（如 TrueType 字体）及矢量动画中有极广泛的应用。 结论推广: 以 $P_0,P_1,P_2$ 为控制顶点构筑的二阶贝塞尔曲线，其动点 $M(t)$ 的向量轨迹通式恒满足： $M(t)=(1-t{)}^2{P}_0+2t(1-t)P_1+t^2{P}_2$。本题中 $P_0=A,P_1=B,P_2=C$，直接代入此推广通式同样可在草稿纸上瞬间完成对轨迹方程的代数验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷理-21 解-点轨迹方程
• 2007-北京文-19 解-圆与双曲线轨迹
• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹