2006-陕西卷理-19 解-空间直角坐标系的建立

本题导读

本题考查空间位置关系中的线面角与二面角求解。第一问利用面面垂直性质定理，通过几何射影直角三角形直接求出线面角的正弦值；第二问通过构建空间直角坐标系，利用两平面法向量的夹角计算二面角。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 如图， $\alpha \perp \beta$， $\alpha \cap \beta =l$， $A\in \alpha$， $B\in \beta$，点 $A$ 在直线 $l$ 上的射影为 $A_1$，点 $B$ 在 $l$ 上的射影为 $B_1$. 已知 $AB=2$, $A{A}_1=1$, $B{B}_1=\sqrt{2}$. 求：

(1) 直线 $AB$ 分别与平面 $\alpha$, $\beta$ 所成角的大小；

(2) 二面角 $A_1-AB-B_1$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：由 $\alpha \perp \beta$ 且 $\alpha \cap \beta =l$， $A\in \alpha$， $A\perp l$ 于 $A_1$，根据面面垂直性质定理可得 $A{A}_1\perp \beta$。因此，直线 $AB$ 在平面 $\beta$ 上的射影为 $A_{1}B$， $\angle AB{A}_1$ 即为直线 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角。在直角 $△AB{A}_1$ 中，利用 $\sin \angle AB{A}_1=\frac{A{A}_1}{AB}$ 求解。同理，由 $B{B}_1\perp \alpha$，可知 $\angle BA{B}_1$ 为直线 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角。 第二问：由于 $A{A}_1\perp \beta$， $B{B}_1\perp \alpha$，且 $A{A}_1\perp l,B{B}_1\perp l$，说明 $A_{1}A,A_1{B}_1$ 相互垂直。可以以 $A_1$ 为原点，以 $A_1{B}_1$ 为 $x$ 轴，过 $A_1$ 且平行于 $B_{1}B$ 的射线为 $y$ 轴， $A_{1}A$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。先利用三垂线勾股定理求出 $A_1{B}_1$ 的长度以确定各点三维坐标，再利用两平面的法向量求二面角。

✅【答案】

Success

(1) 直线 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成角为 $\frac{\pi }{4}$（或 $45^{\circ }$），与平面 $\beta$ 所成角为 $\frac{\pi }{6}$（或 $30^{\circ }$）；

(2) 二面角 $A_1-AB-B_1$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，且交线为 $\alpha \cap \beta =l$。 由点 $A$ 在直线 $l$ 上的射影为 $A_1$，知 $A{A}_1\subset \alpha$ 且 $A{A}_1\perp l$。 根据面面垂直的性质定理， 恒有： $A{A}_1\perp \text{平面 }\beta$ 连接 $A_{1}B$，则线段 $A_{1}B$ 是直线 $AB$ 在平面 $\beta$ 内的垂直射影。 所以， $\angle AB{A}_1$ 即为直线 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角。 在直角三角形 $△AB{A}_1$ 中， $\angle A{A}_{1}B=90^{\circ }$，已知 $AB=2,A{A}_1=1$，则： $\sin \angle AB{A}_1=\frac{A{A}_1}{AB}=\frac{1}{2}$ 因为线面角范围为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以直线 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角为 $\frac{\pi }{6}$（或 $30^{\circ }$）。

同理，因为 $B{B}_1\subset \beta$ 且 $B{B}_1\perp l$，可得： $B{B}_1\perp \text{平面 }\alpha$ 连接 $A{B}_1$，则 $\angle BA{B}_1$ 即为直线 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角。 在直角三角形 $△BA{B}_1$ 中， $\angle B{B}_{1}A=90^{\circ }$，已知 $AB=2,B{B}_1=\sqrt{2}$，则： $\sin \angle BA{B}_1=\frac{B{B}_1}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 所以直线 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\frac{\pi }{4}$（或 $45^{\circ }$）。

(2) 在直角 $△AB{A}_1$ 中，由勾股定理求出 $A_{1}B$ 的长度： $A_{1}B=\sqrt{A{B}^2-A{A}_1^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ 因为 $B{B}_1\perp \alpha ⟹B{B}_1\perp l⟹B{B}_1\perp A_1{B}_1$，所以在直角 $△A_1{B}_{1}B$ 中，利用勾股定理求出线段 $A_1{B}_1$ 的长度： $A_1{B}_1=\sqrt{A_1{B}^2-B{B}_1^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3-2}=1$

以 $A_1$ 为坐标原点，射线 $A_1{B}_1$ 为 $x$ 轴正方向，过 $A_1$ 平行于 $B_{1}B$ 的射线为 $y$ 轴正方向，射线 $A_{1}A$ 为 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $A_1-xyz$。 由几何边长关系可写出空间各核心顶点的三维坐标： $A_1(0,0,0),A(0,0,1),B_1(1,0,0),B(1,\sqrt{2},0)$

下面利用空间向量求解二面角 $A_1-AB-B_1$ 的大小。 写出相关方向向量的坐标： $\overrightarrow{A_{1}A}=(0,0,1),\overrightarrow{A_{1}B}=(1,\sqrt{2},0),\overrightarrow{B_{1}A}=(-1,0,1),\overrightarrow{B_{1}B}=(0,\sqrt{2},0)$

• 设平面 $A_{1}AB$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{A_{1}A}=z_1=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=x_1+\sqrt{2}{y}_1=0\end{array}$ 令 $y_1=1⟹x_1=-\sqrt{2}$，得： ${\vec{n}}_1=(-\sqrt{2},1,0)$。

• 设平面 $B_{1}AB$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{B_{1}B}=\sqrt{2}{y}_2=0⟹y_2=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{B_{1}A}=-x_2+z_2=0⟹x_2=z_2\end{array}$ 令 $x_2=1⟹z_2=1$，得： ${\vec{n}}_2=(1,0,1)$。

计算两平面法向量的夹角余弦值： $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{-\sqrt{2}\times 1+1\times 0+0\times 1}{\sqrt{2+1+0}\times \sqrt{1+0+1}}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

由于二面角 $A_1-AB-B_1$ 的平面角从图形走势观察为锐角， 所以，该二面角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：面面垂直性质转化为线面垂直、线面角正弦公式的应用、利用法向量夹角公式求解空间二面角。
• 核心方法：直角坐标系向量法。
• 避坑指南：
• 第一问求直线 $AB$ 与平面所成角时，计算出来的是正弦值 $\sin \theta =\frac{1}{2}$，写最终角度时一定要对应 $\frac{\pi }{6}$。
• 第二问利用向量求出 $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 之后，务必根据空间图形实际的张口朝向判定二面角是锐角还是钝角。由于此处两个法向量的方向均指向外侧，对应的二面角与其互补，即为锐角 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查立体几何经典“直二面角”位置关系的大题。通过将两个垂直平面作为参考基底，考查面面垂直向线面垂直相互转换的工具性基本功。 结论推广: 若直二面角 $\alpha -l-\beta$ 内两点 $A\in \alpha ,B\in \beta$ 到交线的垂足分别为 $A_1,B_1$，则空间线段长度满足广义三维勾股定理： $A{B}^2=A{A}_1^2+A_1{B}_1^2+B_1{B}^2$。利用此结论可在一秒内直接验算或求出未知空间边长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题
• 09.02 平面向量的线性运算
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-19 解-二面角向量求法
• 2007-山东卷理-19 解-用空间向量求二面角