2006-陕西卷理-18 解-二项分布的数学期望

本题导读

本题考查相互独立事件的概率计算以及离散型随机变量的分布列与数学期望。第一问利用独立事件的概率乘法公式直接求解；第二问通过判定出乙投篮构成标准的伯努利试验，引入二项分布模型快速求解分布列与数学期望。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是 $\frac{1}{3}$、$\frac{2}{5}$、$\frac{1}{2}$.

(1) 现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率；

(2) 用 $\xi$ 表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量 $\xi$ 的概率分布及数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：3人投篮事件相互独立。分别求出甲、乙、丙各自不进球的对立事件概率： $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$， $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$， $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。利用相互独立事件的概率乘法公式将三者相乘。 第二问：乙独立投篮 3 次，每次投进的概率均恒为 $p=\frac{2}{5}$。这符合标准的 $n=3$ 次独立重复试验特征。因此，进球数 $\xi$ 严格服从二项分布： $\xi \sim B\left(3,\frac{2}{5}\right)$。 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3。直接套用二项分布公式 $P(\xi =k)=C_3^k{p}^k(1-p{)}^{3-k}$ 计算分布列，并利用公式 $E\xi =np$ 计算数学期望。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{1}{5}$

(2) $\xi$ 的概率分布列为

$\xi$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

数学期望 $E\xi =\frac{6}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 记“甲投篮 1 次投进”为事件 $A$，则 $P(A)=\frac{1}{3}$，不进的概率为 $P(\bar{A})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$； 记“乙投篮 1 次投进”为事件 $B$，则 $P(B)=\frac{2}{5}$，不进的概率为 $P(\bar{B})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$； 记“丙投篮 1 次投进”为事件 $C$，则 $P(C)=\frac{1}{2}$，不进的概率为 $P(\bar{C})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

因为甲、乙、丙 3 人投篮是否投进相互独立，所以 3 人都没有投进的概率为： $P=P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})\cdot P(\bar{C})=\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$

(2) 随机变量 $\xi$ 表示乙投篮 3 次的进球数。因为乙每次投篮相互独立且投进的概率恒为 $p=\frac{2}{5}$， 所以 $\xi$ 服从参数为 $n=3,p=\frac{2}{5}$ 的二项分布，即 $\xi \sim B\left(3,\frac{2}{5}\right)$。 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3。

套用二项分布概率计算公式 $P(\xi =k)=C_3^k{\left(\frac{2}{5}\right)}^k{\left(\frac{3}{5}\right)}^{3-k}$ 依次计算：

• 当 $\xi =0$ 时： $P(\xi =0)=C_3^0{\left(\frac{2}{5}\right)}^0{\left(\frac{3}{5}\right)}^3=1\times 1\times \frac{27}{125}=\frac{27}{125}$
• 当 $\xi =1$ 时： $P(\xi =1)=C_3^1{\left(\frac{2}{5}\right)}^1{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=3\times \frac{2}{5}\times \frac{9}{25}=\frac{54}{125}$
• 当 $\xi =2$ 时： $P(\xi =2)=C_3^2{\left(\frac{2}{5}\right)}^2{\left(\frac{3}{5}\right)}^1=3\times \frac{4}{25}\times \frac{3}{5}=\frac{36}{125}$
• 当 $\xi =3$ 时： $P(\xi =3)=C_3^3{\left(\frac{2}{5}\right)}^3{\left(\frac{3}{5}\right)}^0=1\times \frac{8}{125}\times 1=\frac{8}{125}$

(自检概率和： $\frac{27+54+36+8}{125}=\frac{125}{125}=1$，计算完全正确)

所以，随机变量 $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

由于 $\xi$ 服从二项分布，直接应用二项分布数学期望的简便计算公式： $E\xi =n\cdot p=3\times \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：独立事件同时发生的概率乘法规则、二项分布（伯努利试验）模型的判定、二项分布期望公式 $E\xi =np$。
• 核心方法：二项分布模型公式法。
• 避坑指南：
• 第一问算的是“都没有投进”，一定要先求出各自的对立事件概率（用 1 减去已知概率），切勿粗心直接将原进球概率相乘。
• 第二问在写分布列计算时，大分母保持 125 统一不约分，不仅不易算错分子，更有利于最后利用概率和为 1 这一硬性指标进行考场自检。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查概率统计中独立重复试验（二项分布）最标准的常规解答母题，旨在考查模型识别与期望公式的直接应用。 结论推广: 针对所有离散型随机变量的期望计算， 如果能通过题设严格判定其符合 $X\sim B(n,p)$ 的特征，则其期望值的计算可以直接由定义式 $\sum x_i{p}_i$ 简化降维为公式 $np$，可极大节省运算时间并提升准确度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷理-18 解-二项分布
• 2008-山东卷理-18 解-二项分布
• 2009-广东卷理-17 解-二项分布