2006-陕西卷理-17 解-正弦型函数的周期与最值

本题导读

本题考查三角恒等变换与正弦型函数的性质。先用二倍角降幂公式化简高次项，再用两角和与差公式合并为标准的正弦型函数，从而求解周期与最大值时 $x$ 的集合。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+2{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{12}\right)$ ($x\in \mathbf{R}$).

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期;

(2) 求使函数 $f(x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合.

🔍【思路分析】

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降幂变形：利用余弦二倍角降幂公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ 对第二项 $2{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{12}\right)$ 进行化简，将其角化为 $2x-\frac{\pi }{6}$。 两角合并：化简后，式子转化为包含 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 和 $\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的组合。用辅助角公式合成标准正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )+k$。 性质求解：

• 第一问：利用公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 直接计算最小正周期。
• 第二问：令正弦项等于 1，解出 $2x+\varphi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$，反解出 $x$ 的集合。

✅【答案】

Success

（1）最小正周期 $T=\pi$；

（2）最大值为 $3$，取得最大值的 $x$ 的集合为 $\left\{x|x=\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$.

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 利用二倍角降幂公式对 $f(x)$ 表达式中的第二项进行变形： $2{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{12}\right)=1-\cos \left[2\left(x-\frac{\pi }{12}\right)\right]=1-\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

将变形结果代回原函数解析式中： $f(x)=\sqrt{3}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)-\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1$

用辅助角公式（提取系数 $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=2$）合并： $f(x)=2\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)-\frac{1}{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\right]+1$ $f(x)=2\left[\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\cos \frac{\pi }{6}-\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\sin \frac{\pi }{6}\right]+1$

由两角差的正弦公式 $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ 合并： $f(x)=2\sin \left[\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{6}\right]+1=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+1$

因为自变量 $x$ 的系数为 $\omega =2$， 所以函数 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$

(2) 要使函数 $f(x)$ 取得最大值，只需正弦项取最大，即： $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=1$ 此时 $f(x)$ 的最大值为 $2\times 1+1=3$。 令括号内整体等于 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$： $2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$

移项化简： $2x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{5\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 两边同时除以 2，解得： $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$

所以，使函数 $f(x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合为： $\left\{x|x=\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二倍角降幂公式 $2{\sin }^2\theta =1-\cos 2\theta$、辅助角公式、正弦型函数的周期及最值。
• 核心方法：降幂合成化简法。
• 避坑指南：
• 第一步降幂时，角 $x-\frac{\pi }{12}$ 翻倍后变为 $2x-\frac{\pi }{6}$，此处易因符号或分母计算出错。
• 第二问要求的是“$x$ 的集合”，结果应写成集合形式 $\left\{x\mid \dots \right\}$ 并指明 $k\in \mathbf{Z}$，不要只写一个通项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题综合考查三角恒等变换与性质求解。 结论推广: 对于形如 $f(x)=a\sin \omega x+b{\sin }^2(\frac{\omega }{2}x+\varphi )$ 的三角函数，可通过降幂转化为 $A\sin (\omega x+{\varphi }^{\prime })+k$ 的形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅱ文-18 解-正弦定理与三角形最值
• 2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值