2006-陕西卷理-15 填-空间直角与高度距离计算

本题导读

本题考查空间立体几何中多球相切问题。核心在于将 5 个球心的相对位置抽象转化为一个标准的对称多面体（正四棱锥），通过求解该四棱锥的高，加上小球大球自身的半径，最终算出小球球心到桌面的总垂直距离。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 水平桌面 $\alpha$ 上放有 4 个半径均为 $2R$ 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）. 在这 4 个球的上面放 1 个半径为 $R$ 的小球，它和下面的 4 个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面 $\alpha$ 的距离是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

抽象出球心多面体：下面 4 个大球半径均为 $2R$。将它们的球心分别记为 $O_1,O_2,O_3,O_4$。因为相邻大球相切，所以任意相邻两球心之间的距离为 $2R+2R=4R$。这 4 个球心构成一个边长为 $4R$ 的水平正方形。这 4 个球心所在平面平行于桌面，且它们到桌面的垂直距离等于大球半径 $2R$。 引入上层小球球心：设上面半径为 $R$ 的小球球心为 $P$。因为小球与下面 4 个大球都相切，所以小球球心 $P$ 到 4 个大球球心的距离全部相等，均为 $2R+R=3R$。 构筑正四棱锥求高：以 $P$ 为顶点， $O_1{O}_2{O}_3{O}_4$ 为底面，构成一个标准的正四棱锥 $P-O_1{O}_2{O}_3{O}_4$。其侧棱长为 $3R$，底面正方形边长为 $4R$。求出该正四棱锥的高 $h$，则小球球心到桌面的总距离即为 $h+2R$。

✅【答案】

Success

$3R$

✍【详细解析】

Abstract

解：将下面 4 个半径为 $2R$ 的大球球心分别记为 $O_1,O_2,O_3,O_4$，上面半径为 $R$ 的小球球心记为 $P$。 由于相邻的大球均两两严格相切，所以底面 4 个球心构成的正方形的边长为： $a=2R+2R=4R$ 大球球心所在平面与水平桌面 $\alpha$ 相互平行，且这 4 个大球球心到桌面的垂直高度均为大球自身的半径值： $h_0=2R$

因为上面的小球与下面 4 个大球分别外切，根据外切两球心距离等于两半径之和的特征，小球球心 $P$ 到下面 4 个大球球心的距离全部相等，均为侧棱长： $L=2R+R=3R$

连接 $P$ 与四个大球球心，共同构成一个以 $P$ 为顶点、正方形 $O_1{O}_2{O}_3{O}_4$ 为底面的正四棱锥 $P-O_1{O}_2{O}_3{O}_4$。 设顶点 $P$ 在底面正方形上的垂直投影点（即底面正方形的中心）为 $O^{\prime }$。

在底面正方形 $O_1{O}_2{O}_3{O}_4$ 中，边长为 $4R$，连接对角线，则中心 $O^{\prime }$ 到各顶点的距离为对角线长度的一半： $O^{\prime }{O}_1=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}a=\frac{\sqrt{2}}{2}\times 4R=2\sqrt{2}R$

在直角三角形 $△P{O}^{\prime }{O}_1$ 中，利用勾股定理求出正四棱锥的高 $h$： $h=P{O}^{\prime }=\sqrt{P{O}_1^2-O^{\prime }{O}_1^2}$ 代入已知数值： $h=\sqrt{(3R{)}^2-(2\sqrt{2}R{)}^2}=\sqrt{9R^2-8R^2}=\sqrt{R^2}=R$

由此可知，小球球心 $P$ 距离大球球心所在平面的垂直高度为 $R$。 由于大球球心所在平面距离水平桌面 $\alpha$ 的高度为 $2R$， 所以，小球球心到水平桌面 $\alpha$ 的总垂直距离为： $D=h+h_0=R+2R=3R$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：相邻相切球体球心距等于半径和特征、空间球心群向正四棱锥模型的转化、正四棱锥高的勾股定理求解。
• 核心方法：几何体中心射影补形法。
• 避坑指南：
• 极其容易在计算底面正方形边长时发生粗心，误当成 $2R$（注意是两个半径相加， $2R+2R=4R$）。
• 计算高 $h$ 时注意对角线半长为 $2\sqrt{2}R$，平方后是 $8R^2$。最终总距离要记得加上大球球心到桌面的初始高度 $2R$，切勿直接将求出来的正四棱锥的高 $R$ 错当成最终答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是空间堆叠球体切线模型中最经典的立体几何常识题。通常作为考查空间想象力与多面体降维投影分析的核心填空压轴题。 结论推广: 设有 4 个半径为 $r_1$ 的大球外切平放于桌面，上方中心堆叠放置 1 个半径为 $r_2$ 的小球并与下层 4 球外切，则上层球心到桌面的总垂直距离公式恒为： $\sqrt{(r_1+r_2{)}^2-2r_1^2}+r_1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-15 填-正四棱锥外接球
• 2007-天津卷理-12 填-球表面积公式
• 2008-天津文-13 填-球体积与表面积