2006-陕西卷理-14 填-指数的负整数与分数幂运算

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式及特定项系数的求解。核心在于精确写出展开式的第 $r+1$ 项通项，将自变量 $x$ 的所有幂次合并后通过建立一次方程求出对应的特定项序号。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） ${\left(3x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{12}$ 展开式中 $x^{-3}$ 的系数为$\underline{}$. （用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

写出通项公式：利用二项展开式通用公式，写出第 $r+1$ 项： $T_{r+1}=C_{12}^r(3x{)}^{12-r}{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r$。 自变量指数化简：将根式化为分数幂形式 $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$。将系数部分与自变量 $x$ 的指数项完全分离合并。 建立方程求解 $r$：令 $x$ 的总指数等于 $-3$，解出满足条件的整数 $r$。 计算数值系数：将解出的 $r$ 代回系数代数式中，完成大组合数的数乘计算。

✅【答案】

Success

$594$

✍【详细解析】

Abstract

解：对于二项式 ${\left(3x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{12}$，首先写出其展开式的通用第 $r+1$ 项： $T_{r+1}=C_{12}^r(3x{)}^{12-r}\cdot {\left(-x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r$

将各项的实数系数部分与自变量 $x$ 进行分项分离合并： $T_{r+1}=C_{12}^r\cdot 3^{12-r}\cdot x^{12-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-\frac{1}{2}r}=C_{12}^r\cdot 3^{12-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{12-r-\frac{1}{2}r}=C_{12}^r\cdot 3^{12-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{12-\frac{3}{2}r}$

题目要求求解包含 $x^{-3}$ 的项的系数，令自变量 $x$ 的总指数等于 $-3$： $12-\frac{3}{2}r=-3$ 移项化简： $\frac{3}{2}r=12-(-3)=15⟹3r=30⟹r=10$

由于解出的 $r=10$ 为属于 $[0,12]$ 的整数，符合二项展开项次要求。 将 $r=10$ 代回通项公式的前项系数代数式中计算确切数值： $\text{系数}=C_{12}^{10}\cdot 3^{12-10}\cdot (-1{)}^{10}$

分别计算各子项：

• 组合数： $C_{12}^{10}=C_{12}^2=\frac{12\times 11}{2\times 1}=66$
• 幂次项： $3^{12-10}=3^2=9$
• 符号项： $(-1{)}^{10}=1$

相乘求出最终结果： $\text{系数}=66\times 9\times 1=594$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$、指数幂的分数与负数运算法则。
• 核心方法：通项指数方程法。
• 避坑指南：
• 提取系数时，极其容易漏掉第二项前面的负号，必须把减号看作 $(-1{)}^r$ 提取到前面参加幂次计算。
• 分数幂合并时， $12-r-\frac{1}{2}r=12-\frac{3}{2}r$，计算过程要细心，防止因解错一次方程导致 $r$ 不是整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查二项式定理最标准、最常规的经典填空题。侧重考查基础指数幂次的合并精度。 结论推广: 针对任何二项式 ${\left(A{x}^{\alpha }+B{x}^{\beta }\right)}^n$ 的特定项 $x^k$ 求解，其对应组合数下标 $r$ 满足的一元一次临界方程通式恒为： $n\alpha -(\alpha -\beta )r=k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-13 填-二项展开式通项公式常数项
• 2007-天津卷理-11 填-二项展开式通项公式
• 2007-安徽卷理-12 填-二项展开式通项公式