2006-陕西卷理-13 填-两角和与差的余弦公式

本题导读

本题考查三角恒等变换的求值。核心在于通过诱导公式统一异名三角函数与钝角，将其转化为标准的余弦两角和展开式结构进行逆向合并。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） $\cos 43^{\circ }\cos 77^{\circ }+\sin 43^{\circ }\cos 167^{\circ }$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

角度统一与诱导变形：观察最后一项 $\cos 167^{\circ }$。利用诱导公式 $\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$，将 $167^{\circ }$ 转化为锐角： $\cos 167^{\circ }=\cos (180^{\circ }-13^{\circ })=-\cos 13^{\circ }$。同时注意原式中缺少标准正弦乘积项。 进一步化简互余角：由于 $\cos 77^{\circ }=\cos (90^{\circ }-13^{\circ })=\sin 13^{\circ }$。代入后可以使算式转化为包含 $43^{\circ }$ 和 $13^{\circ }$ 的标准三角结构。 公式逆用求解：化简后的式子符号为负，利用两角和与差的余弦公式 $\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta =-\sin (\alpha -\beta )$ 或其余弦变体求出确切常数值。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先利用三角函数的诱导公式，对算式中的钝角 $\cos 167^{\circ }$ 和锐角 $\cos 77^{\circ }$ 分别进行转化： $\cos 167^{\circ }=\cos (180^{\circ }-13^{\circ })=-\cos 13^{\circ }$ $\cos 77^{\circ }=\cos (90^{\circ }-13^{\circ })=\sin 13^{\circ }$

将上述两个变形代回原求值代数式中中： $\text{原式}=\cos 43^{\circ }\sin 13^{\circ }+\sin 43^{\circ }(-\cos 13^{\circ })=\cos 43^{\circ }\sin 13^{\circ }-\sin 43^{\circ }\cos 13^{\circ }$

提取负号进行多项式项次调整： $\text{原式}=-(\sin 43^{\circ }\cos 13^{\circ }-\cos 43^{\circ }\sin 13^{\circ })$

根据两角和与差的正弦公式 $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$，逆向合并括号内的项： $\text{原式}=-\sin (43^{\circ }-13^{\circ })=-\sin 30^{\circ }$

代入特殊角三角函数值： $\text{原式}=-\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：两角和差正弦公式的逆向构造、互补角与互余角诱导公式。
• 核心方法：诱导公式角统一法。
• 避坑指南：
• 极其容易在处理 $\cos 167^{\circ }=-\cos 13^{\circ }$ 时，把前面的正负号弄错。
• 提取负号后，括号内是 $\sin 43^{\circ }\cos 13^{\circ }-\cos 43^{\circ }\sin 13^{\circ }=\sin (43^{\circ }-13^{\circ })$，注意主次角顺序，切勿错写成 $\sin (13^{\circ }-43^{\circ })=-\sin 30^{\circ }$ 导致负负得正算错符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查三角恒等变换核心公式调用与诱导变形的基础填空常规题。 结论推广: 针对任何形如 $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \cos (\pi -\gamma )$ 型的三角求和结构，其通用解题逻辑均为固定利用互补、互余边界进行“切角统一”，将其强行对齐至和差基础模板。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2007-重庆文-13 填-余弦定理已知两边夹角
• 2010-江苏卷-13 填-正余弦定理化简求值