本题导读
本题考查线性方程组的求解。通过现代信息加密与解密这一新颖的生活背景，将密文与明文的对应规则转化为一组四元一次方程组，核心在于高效地反解出未知数的值。
📌【题干】
Question
（2006年陕西卷(理)） 为确保信息安全，信息需加密传播，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密）. 已知加密规则为：明文 对应密文 , , , . 例如，明文 1, 2, 3, 4 对应密文 5, 7, 18, 16. 当接收方收到密文 14, 9, 23, 28 时，则解密得到的明文为()
A. 4, 6, 1, 7 B. 7, 6, 1, 4 C. 6, 4, 1, 7 D. 1, 6, 4, 7
🔍【思路分析】
破题导航
建立方程组：根据加密规则，令收到密文的 4 个数值分别对应加密代数式，建立四元一次方程组： 逆向迭代求解：该方程组具有非常完美的阶梯形（三角形）结构。可以从最后一式最简单的 开始，依次向上逆向代入求解。 快速验证法：作为选择题最后一题，也可以直接将四个选项中的 的值，代入最易算的第一式 或最后一式 进行快速排除。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
解：根据题目给定的加密映射规则，设解密得到的明文分别为 。 由于接收方收到的密文依次为 14, 9, 23, 28，对应建立联立方程组：
利用自下而上的逆推消元法依次解方程：
- 由 ④ 式直接得：
- 将 代入 ③ 式中：
- 将 代入 ② 式中：
- 将 代入 ① 式中：
综上，求得明文数字组合为： 对应排序即为 6, 4, 1, 7。
故选 C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：多元一次阶梯形方程组的求解、新定义运算的代数转化。
- 核心方法：自下而上逆向代入法、选项特征排除法。
- 避坑指南：
- 细心观察四个选项，发现它们的最后一个数各不相同（分别为 7, 4, 7, 7）。第一步求出 后，可以立刻排除 B 选项。
- 进一步看， A 与 C 的后三项相同（4, 6 或 6, 4），算至 时，即可直接锁定 C。在考场上应建立这种利用选项差异减少运算量的填空式思维。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是考查线性代数中“上三角矩阵”反解线性方程组的创新应用题。将单向哈希/矩阵加密的初等算法融入高考，既有趣又考查了基础计算的严密性。 结论推广: 该加密过程在高等数学中本质是一个向量的左乘矩阵变换： ，其中加密矩阵为 。解密过程实际就是通过逆矩阵 对密文向量进行左乘还原。
🔗【关联脉络】
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