2006-陕西卷理-08 单-乘积多项式的展开与常数合并

本题导读

本题考查利用基本不等式解决含参不等式恒成立问题。核心在于通过对乘积多项式进行完全展开后，利用基本不等式求出左侧变量表达式的全局代数最小值，从而转化为关于参数 $a$ 的一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 已知不等式 $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{a}{y}\right)\ge 9$ 对任意正实数 $x,y$ 恒成立，则正实数 $a$ 的最小值为()

A. 2　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

展开多项式：对不等式左边进行多项式乘法展开： $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{a}{y}\right)=1+\frac{ay}{x}+\frac{x}{y}+a=(a+1)+\left(\frac{x}{y}+\frac{ay}{x}\right)$。 应用基本不等式求极小值：因为 $x,y,a$ 均为正实数，所以 $\frac{x}{y}>0$ 且 $\frac{ay}{x}>0$。应用基本不等式： $\frac{x}{y}+\frac{ay}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot \frac{ay}{x}}=2\sqrt{a}$。由此可以得到左侧表达式对于任意 $x,y$ 的最小值为 $(a+1)+2\sqrt{a}$。 转化恒成立问题：要使不等式恒成立，只需左侧的最小值大于或等于 9。即建立关于 $a$ 的不等式： $(a+1)+2\sqrt{a}\ge 9$，解出正实数 $a$ 的范围并锁定其最小值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：对不等式左侧的乘积多项式进行展开： $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{a}{y}\right)=x\cdot \frac{1}{x}+x\cdot \frac{a}{y}+y\cdot \frac{1}{x}+y\cdot \frac{a}{y}$ $=1+\frac{ax}{y}+\frac{y}{x}+a=(a+1)+\left(\frac{y}{x}+\frac{ax}{y}\right)$

因为 $x,y$ 为任意正实数，且 $a$ 是正实数， 所以分式项 $\frac{y}{x}>0$ 且 $\frac{ax}{y}>0$。 运用基本不等式公式 $A+B\ge 2\sqrt{AB}$ 对括号内的两项进行最值放缩： $\frac{y}{x}+\frac{ax}{y}\ge 2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot \frac{ax}{y}}=2\sqrt{a}$ 当且仅当 $\frac{y}{x}=\frac{ax}{y}⟹y^2=a{x}^2⟹y=\sqrt{a}x$ 时，等号严格成立。

因此，对任意的正实数 $x,y$，左边表达式的全局最小值为： ${\left[(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{a}{y}\right)\right]}_{\text{min}}=(a+1)+2\sqrt{a}$

原不等式对任意正实数 $x,y$ 恒成立，等价于该代数最小值必须大于或等于右侧常数 9： $(a+1)+2\sqrt{a}\ge 9$ 移项进行多项式整理： $a+2\sqrt{a}-8\ge 0$

引入换元法，令 $t=\sqrt{a}$（因为 $a>0⟹t>0$），将不等式转化为关于 $t$ 的一元二次不等式： $t^2+2t-8\ge 0$ 因式分解得： $(t+4)(t-2)\ge 0$ 解得 $t\ge 2$ 或 $t\le -4$。 结合 $t>0$ 约束，取交集后只能保留： $t\ge 2⟹\sqrt{a}\ge 2$ 两边同时进行平方： $a\ge 4$

所以，正实数 $a$ 的取值范围是 $[4,+\infty )$，其取得的最小值为 4。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双因式分式乘积的基本不等式展开公式、“恒成立”向“最值”转化的基本逻辑、根式换元法解一元二次不等式。
• 核心方法：多项式展开法、最小值放缩法。
• 避坑指南：
• 展开时必须注意字母的对应关系，不要误写成 $1+a+\frac{x}{y}+\frac{y}{ax}$。
• 恒成立问题的核心口诀是：小大于最大，大小于最小。本题中是“$\text{变量}\ge 9$”，说明变量的下界（最小值）必须高过 9，转换方向千万不能弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查基本不等式核心代数变换与最值求取最经典的“1 的代换”或“直接展开”的标杆母题。 结论推广: 不等式 $(x+y)\left(\frac{b}{x}+\frac{a}{y}\right)\ge k$ 对应正实数恒成立的边界特征，可通过对其最小值开方直接进行因式对齐：其最小值恒为 $(\sqrt{b}+\sqrt{a}{)}^2$。本题中 $b=1$，即 $(1+\sqrt{a}{)}^2\ge 9⟹1+\sqrt{a}\ge 3⟹\sqrt{a}\ge 2⟹a\ge 4$。掌握此几何展开推广通式可实现秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-07 单-不等式恒成立
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立